传送门

题意：开始时你有一个数$0$,每次选出$[0,2^n-1]$中的一个数进行按位或，每个数选中的概率给定。求得到$2^n-1$的期望操作次数。

$1\le n\le 20$

神仙题

首先发现每一位都是独立的，可以分开考虑。

对于一个集合$S$,记$F(S)$表示$S$的每一个元素出现的期望操作次数组成的可重集，记$Max(S)=max(F(S)),Min(S)=min(F(S))$

记$S=2^n-1$,我们要求的就是$E(Max(S))$

这个不好求，但可以Min-Max容斥一下？

$$E(Max(S))=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}E(Min(T))$$

可以直接枚举子集，现在考虑怎么求$E(Min(T))$

这玩意的意义是或到和$T$有交集的期望次数

设每次选出一个和$T$有交集的数的概率是$p$

$$E(Min(T))=\sum _{i=1}^{\infty }i(1-p{)}^{i-1}p$$

$$=p\sum _{i=1}^{\infty }i(1-p{)}^{i-1}$$

记

$$s=\sum _{i=1}^{\infty }i(1-p{)}^{i-1}$$

$$(1-p)s=\sum _{i=2}^{\infty }(i-1)(1-p{)}^{i-1}$$

$$=\sum _{i=1}^{\infty }(i-1)(1-p{)}^{i-1}$$

$$ps=\sum _{i=1}^{\infty }(1-p{)}^{i-1}$$

$$=\sum _{i=0}^{\infty }(1-p{)}^i$$

$$(1-p)ps=\sum _{i=1}^{\infty }(1-p{)}^i$$

$$p^{2}s=1$$

$$s=\frac{1}{p^2}$$

$$E(Min(T))=ps=\frac{1}{p}$$

$p$仍然不好求。

正难则反，我们求和$T$没有交集的概率

即$T$的补集的子集的概率之和

第一次写的子集标记，发现会被算多次

然后发现不是个$FWT$板子吗

然后没了

注意不枚举空集 如果遇到无穷大直接输出

复杂度$O(n{2}^n)$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
using namespace std;
double p[1<<20];
const int d[]={0,1,1,2,1,2,2,3};
inline int count(int x)
{int ans=0;while (x){ans+=d[x&7];x>>=3;}return ans;
}
int main()
{int n;scanf("%d",&n);for (int i=0;i<(1<<n);i++) scanf("%lf",&p[i]);for (int mid=1;mid<(1<<n);mid<<=1)for (int s=0;s<(1<<n);s+=(mid<<1))for (int k=0;k<mid;k++)p[s+mid+k]+=p[s+k];double sum=0;for (int i=1;i<(1<<n);++i){double t=1-p[(~i)&((1<<n)-1)];if (t<1e-10){puts("INF");return 0;}t=1/t;sum+=((count(i)&1)? t:-t);}printf("%.10f\n",sum);return 0;
}

wtcl