题意：给一个$N\times M$的矩阵，可以进行任意多次操作将一列轮换，求每一行的最大值之和的最大值。多组数据。

Easy Version$N\le 4$,$M\le 100$

Hard Version$N\le 12$,$M\le 2000$

看这数据范围显然是个状压

相当于是每一行只能选一个

设$f(i,S)$表示当前到$i$,已经选了$S$的最大值

记忆化搜索一波，暴力转一下

复杂度$O(4^n{n}^{2}m)$ 可以通过Easy Version

    #include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cctype>using namespace std;int n,m;int a[20][105],dp[105][1<<4];int Move(int s){return (s>>1)|((s&1)<<(n-1));}int dfs(int pos,int s){if (dp[pos][s]) return dp[pos][s];if (s==(1<<n)-1) return 0;if (pos==m) return 0;int &ans=dp[pos][s];for (int t=0;t<(1<<n);t++){if (s&t) continue;int res=dfs(pos+1,s|t);int mx=0;for (int k=0,cur=t;k<n;k++){int sum=0;cur=Move(cur);for (int i=0;i<n;i++)if ((1<<i)&cur)sum+=a[i][pos];mx=max(mx,sum);}ans=max(ans,res+mx);}return ans;}void solve(){memset(dp,0,sizeof(dp));scanf("%d%d",&n,&m);for (int i=0;i<n;i++)for (int j=0;j<m;j++)scanf("%d",&a[i][j]);printf("%d\n",dfs(0,0));}int main(){int T;scanf("%d",&T);while (T--) solve();return 0;}

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复杂度里有$M$，过不了HV

考虑如何消掉M

我们发现因为只有$N$行，所以最多只有$N$列选了数

能否快速确定这$N$列？

贪心！

我们把列按最大值从大到小排序，如果前面的一列没选数而后面的选了

那我们完全可以改成前面没有选的，一定更优

因为只能选$N$个数，所以只用考虑最大的$N$列

复杂度$O(4^n{n}^3)$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,m;
int a[20][2005],dp[2005][1<<12],ord[2005];
int Move(int s){return (s>>1)|((s&1)<<(n-1));}
int dfs(int pos,int s)
{if (dp[pos][s]) return dp[pos][s];if (s==(1<<n)-1) return 0;if (pos==m) return 0;int &ans=dp[pos][s];for (int t=0;t<(1<<n);t++){if (s&t) continue;int res=dfs(pos+1,s|t);int mx=0;
//		printf("%d",t);for (int k=0,cur=t;k<n;k++){int sum=0;cur=Move(cur);
//			printf("->%d",cur);for (int i=0;i<n;i++)if ((1<<i)&cur)sum+=a[i][ord[pos]];mx=max(mx,sum);}
//		puts("");ans=max(ans,res+mx);}return ans;
}
int mx[2005];
inline bool cmp(const int& a,const int& b){return mx[a]>mx[b];}
void solve()
{memset(dp,0,sizeof(dp));memset(mx,0,sizeof(mx));scanf("%d%d",&n,&m);for (int i=0;i<n;i++)for (int j=0;j<m;j++)scanf("%d",&a[i][j]),mx[j]=max(mx[j],a[i][j]);for (int i=0;i<m;i++) ord[i]=i;sort(ord,ord+m,cmp);m=min(n,m);printf("%d\n",dfs(0,0));
}
int main()
{int T;scanf("%d",&T);while (T--) solve();return 0;
}

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然而发现慢得飞起

我们发现：在dp的时候，会花费$O(n)$找出最佳的旋转方案,而这个$O(n)$是在$O(4^n)$的基础上的

为什么不预处理呢

然后得到了$O(2^n{n}^3+4^{n}n)$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,m;
int a[20][2005],mem[2005][1<<12],dp[2005][1<<12],ord[2005];
int dfs(int pos,int s)
{if (dp[pos][s]) return dp[pos][s];if (s==(1<<n)-1) return 0;if (pos==m) return 0;int &ans=dp[pos][s];for (int t=0;t<(1<<n);t++)if (!(s&t))ans=max(ans,dfs(pos+1,s|t)+mem[ord[pos]][t]);return ans;
}
int mx[2005];
inline bool cmp(const int& a,const int& b){return mx[a]>mx[b];}
void solve()
{memset(dp,0,sizeof(dp));memset(mx,0,sizeof(mx));memset(mem,0,sizeof(mem));scanf("%d%d",&n,&m);for (int i=0;i<n;i++)for (int j=0;j<m;j++)scanf("%d",&a[i][j]),mx[j]=max(mx[j],a[i][j]);for (int i=0;i<m;i++) ord[i]=i;sort(ord,ord+m,cmp);m=min(n,m);for (int pos=0;pos<m;pos++)for (int s=0;s<(1<<n);s++)for (int k=0;k<n;k++){int sum=0;for (int i=0;i<n;i++)if (s&(1<<i))sum+=a[(i+k)%n][ord[pos]];mem[ord[pos]][s]=max(mem[ord[pos]][s],sum);				}		printf("%d\n",dfs(0,0));
}
int main()
{int T;scanf("%d",&T);while (T--) solve();return 0;
}

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然而还是慢得飞起

这玩意还有多组数据

我们发现这一句

		if (!(s&t))

是求和$s$没有交集的$t$

能否快速得到这玩意呢？

还真不行

但我们可以换一种实现方式

直接递推实现dp

这样从上一维转移过来只用枚举子集

可以用这句

			for (int t=s;t;t=((t-1)&s))

这样就只枚举了$s$的子集

复杂度？

加上枚举$s$

一共是

$$\sum _{i=0}^n{C}_n^i{2}^i$$

$$=\sum _{i=0}^n{C}_n^{n-i}{2}^i$$

$$=(1+2{)}^n=3^n$$

所以复杂度是$O(2^n{n}^3+3^{n}n)$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,m;
int a[12][2000],mx[2000],pos[2000],mem[2000][1<<12],dp[2000][1<<12];
inline bool cmp(const int& a,const int& b){return mx[a]>mx[b];}
void solve()
{scanf("%d%d",&n,&m);memset(mx,0,sizeof(mx));for (int i=0;i<n;i++)for (int j=0;j<m;j++)scanf("%d",&a[i][j]),mx[j]=max(mx[j],a[i][j]);for (int i=0;i<m;i++) pos[i]=i;sort(pos,pos+m,cmp);m=min(n,m);for (int p=0;p<m;p++)for (int s=0;s<(1<<n);s++){mem[p][s]=0;for (int k=0;k<n;k++){int sum=0;for (int i=0;i<n;i++)if ((1<<i)&s)sum+=a[(i+k)%n][pos[p]];mem[p][s]=max(mem[p][s],sum);}}	memset(dp,0,sizeof(dp));for (int s=0;s<(1<<n);s++) dp[0][s]=mem[0][s];for (int p=1;p<m;p++)for (int s=0;s<(1<<n);s++){for (int t=s;t;t=((t-1)&s))dp[p][s]=max(dp[p][s],dp[p-1][s^t]+mem[p][t]);dp[p][s]=max(dp[p][s],dp[p-1][s]);			}printf("%d\n",dp[m-1][(1<<n)-1]);
}
int main()
{int T;scanf("%d",&T);while (T--) solve();return 0;
}

过于毒瘤