【LOJ166】拉格朗日插值2【拉格朗日插值】【NTT卷积】

传送门

题意:给定n,m,f(0),f(1),......,f(n)n,m,f(0),f(1),... ...,f(n)n,m,f(0),f(1),......,f(n),求f(m),f(m+1),......f(m+n)f(m),f(m+1),... ...f(m+n)f(m),f(m+1),......f(m+n)998244353998244353998244353

n≤100000,m≤1e8,n<mn \leq 100000,m \leq1e8,n<mn100000,m1e8,n<m

纪念第一道独立推出来的多项式

看这数据范围和模数,盲猜卷积

先暴力拉格朗日

f(x)=∑i=0nyi∏i≠jx−xjxi−xjf(x)=\sum_{i=0}^ny_i\prod_{i\neq j}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}f(x)=i=0nyii=jxixjxxj

代入

f(m+k)=∑i=0nyi∏i≠jm+k−ji−jf(m+k)=\sum_{i=0}^ny_i\prod_{i\neq j}\frac{m+k-j}{i-j}f(m+k)=i=0nyii=jijm+kj

下面两个阶乘就完了

上面是(m+k−n)...(m+k)(m+k-n)...(m+k)(m+kn)...(m+k)挖掉(m+k−i)(m+k-i)(m+ki)

f(m+k)(m+k)n+1‾=∑i=0nyii!(−1)n−i(n−i)!(m+k−i)\frac{f(m+k)}{(m+k)^{\underline{n+1}}}=\sum_{i=0}^n\frac{y_i}{i!(-1)^{n-i}(n-i)!(m+k-i)}(m+k)n+1f(m+k)=i=0ni!(1)ni(ni)!(m+ki)yi

f(i)=yii!(−1)n−i(n−i)!,g(i)=1m+if(i)=\frac{y_i}{i!(-1)^{n-i}(n-i)!},g(i)=\frac{1}{m+i}f(i)=i!(1)ni(ni)!yi,g(i)=m+i1

显然这是个卷……

个鬼啊,卷出来的下标是kkk,而卷积要求的是nnn

冷静分析,出现这样的原因是ggg的参数可以是负数

有负数怎么办? 平移啊

g(i)=1m−n+ig(i)=\frac{1}{m-n+i}g(i)=mn+i1

这样

f(m+k)(m+k)n+1‾=∑i=0n+kf(i)g(n+k−i)=∑i=0nyii!(−1)n−i(n−i)!(m+k−i)\frac{f(m+k)}{(m+k)^{\underline{n+1}}}=\sum_{i=0}^{n+k}f(i)g(n+k-i)\\=\sum_{i=0}^n\frac{y_i}{i!(-1)^{n-i}(n-i)!(m+k-i)}(m+k)n+1f(m+k)=i=0n+kf(i)g(n+ki)=i=0ni!(1)ni(ni)!(m+ki)yi

(i>ni>ni>n时,f(i)=0f(i)=0f(i)=0)

卷出来是n+kn+kn+k,再平移回去

然后需要乘一个下降幂,维护当前值顺便滚一下即可

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#define MAXN 524288
using namespace std;
const int MOD=998244353;
typedef long long ll;
int fac[MAXN],finv[MAXN];
inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=MOD? x+y-MOD:x+y;}
inline int dec(const int& x,const int& y){return x<y? x-y+MOD:x-y;}
inline int qpow(int a,int p)
{int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD;p>>=1;}return ans;
}
#define inv(x) qpow(x,MOD-2)
int r[MAXN],rt[2][24];
inline void init(const int& l){for (int i=0;i<(1<<l);i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));}
void NTT(int* a,int l,int type)
{int lim=1<<l;for (int i=0;i<lim;i++) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);for (int L=0;L<l;L++){int mid=1<<L,len=mid<<1;int Wn=rt[type][L+1];for (int s=0;s<lim;s+=len)for (int k=0,w=1;k<mid;k++,w=(ll)w*Wn%MOD){int x=a[s+k],y=(ll)w*a[s+mid+k]%MOD;a[s+k]=add(x,y);a[s+mid+k]=dec(x,y);}}if (type){int t=inv(lim);for (int i=0;i<lim;i++) a[i]=(ll)a[i]*t%MOD;}
}
int y[MAXN];
int f[MAXN],g[MAXN];
int main()
{rt[0][23]=qpow(3,119);rt[1][23]=inv(rt[0][23]);for (int i=22;i>=0;i--){rt[0][i]=(ll)rt[0][i+1]*rt[0][i+1]%MOD;rt[1][i]=(ll)rt[1][i+1]*rt[1][i+1]%MOD;}int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for (int i=0;i<=n;i++) scanf("%d",&y[i]);fac[0]=1;for (int i=1;i<=n;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%MOD;finv[n]=inv(fac[n]);for (int i=n-1;i>=0;i--) finv[i]=(ll)finv[i+1]*(i+1)%MOD;int l=0;while ((1<<l)<=3*n) ++l;for (int i=0;i<=n;i++) f[i]=(ll)finv[i]*((n-i)&1? MOD-finv[n-i]:finv[n-i])%MOD*y[i]%MOD;for (int i=0;i<=(n<<1);i++) g[i]=inv(m+i-n);init(l);NTT(f,l,0);NTT(g,l,0);for (int i=0;i<(1<<l);i++) f[i]=(ll)f[i]*g[i]%MOD;NTT(f,l,1);for (int i=0;i<=n;i++) f[i]=f[i+n];
//	for (int i=0;i<=n;i++) f[i]=add(f[i],(ll)m*fac[i]%MOD*((n-i)&1? MOD-fac[n-i]:fac[n-i])%MOD);
//	for (int i=0;i<=n;i++) f[i]=(ll)y[i]*inv(f[i])%MOD;
//	for (int k=0;k<=n;k++)
//		for (int i=0;i<=n;i++)
//			f[k]=add(f[k],(ll)y[i]*inv((ll)fac[i]*((n-i)&1? MOD-fac[n-i]:fac[n-i])%MOD*(m+k-i)%MOD)%MOD);int tmp=1;for (int i=m-n;i<=m;i++) tmp=(ll)tmp*i%MOD;for (int k=0;k<=n;k++){f[k]=(ll)f[k]*tmp%MOD;tmp=(ll)tmp*inv(m+k-n)%MOD*(m+k+1)%MOD;}for (int i=0;i<=n;i++) printf("%d ",f[i]);return 0;
}

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