【CF1047D】Little C Loves 3 II【构造】【赛瓦维斯特定理】

传送门

题意:给一个N×MN \times MN×M的空棋盘,每次选取两个曼哈顿距离为3的空格子放上棋子,问最多能放多少个。

1≤N,M≤1e91 \leq N,M \leq 1e91N,M1e9

暴力讨论

假装N≤MN \leq MNM

N=1N=1N=1

容易得到,详见代码

N=2N=2N=2

构造几组小的(0表示空)

2×22\times22×2
0 0
0 0

2×32 \times 32×3
1 0 2
2 0 1

2×42 \times 42×4

1 2 3 4
3 4 1 2

2×52 \times 52×5
1 3 2 4 3
5 4 1 5 2

2×62 \times 62×6

1 2 3 1 2 3
4 5 6 4 5 6

2×72 \times 72×7

1 2 3 1 2 3 0
4 5 6 4 5 6 0

小凯定理 赛瓦维斯特定理,由4和5拼起来最大不能凑出4×5−4−5=114 \times 5-4-5=114×545=11,即11以上的都能凑出

8=4+4,9=4+5,10=5+5,11=5+68=4+4,9=4+5,10=5+5,11=5+68=4+4,9=4+5,10=5+511=5+6

所以除了2,3,72,3,72,3,7都可以填满

N>2N>2N>2,NMNMNM为偶数

首先上面凑出了2×42\times 42×4

两个2×32 \times 32×3凑出3×43\times 43×4

这样最大不能凑出2×3−2−3=12\times 3-2-3=12×323=1,所以所有4×M4\times M4×M都可以凑出来

MMM1×61 \times 61×6凑出6×M6 \times M6×M

以两个为单位,所有都可以凑出

所以偶数都可以填满

N>2N>2N>2,NMNMNM为奇数

首先必须空一格

3×33 \times 33×3

1 2 4
4 0 3
3 1 2

把它从角落上挖掉,剩下的都是偶数……

等等,是5怎么办?

构造啊

3×53 \times 53×5

1 2 3 4 5
6 7 5 6 7
0 1 2 3 4

5×55 \times 55×5

1 2 3 4 5
6 4 1 2 3
7 8 0 7 8
10 11 12 9 5
6 9 10 11 12

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
using namespace std;
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;if (n>m) swap(n,m);switch(n){case 1:cout<<m/6*6+2*max(m%6-3,0);break;case 2:switch(m){case 2:cout<<0;break;case 3:cout<<4;break;case 7:cout<<12;break;default:cout<<2*m;break;}break;default:cout<<1ll*n*m/2*2;break;} return 0;
}

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