【做题记录】CF1428E Carrots for Rabbits—堆的妙用

CF1428E Carrots for Rabbits

题意：

有 \(n\) 个萝卜，每个萝卜的初始大小为 \(a_i\) 。现在要把这些萝卜切为为 \(k\) 个。吃每一个萝卜的时间为这个萝卜的大小的平方，求吃完所有萝卜的最小时间，即 \(\sum_{i=1}^{k}{a_i^2}\) 最小 。求出最小值 。

题解：

• 二分是错的 。

• 贪心切两段是错的 。

正解：

令 \(f(i,cnt)\) 为把第 \(i\) 个萝卜分为 \(cnt\) 个后吃完的最少时间，则初始答案为 \(\sum_{i=1}^{n}{f(i,1)}\) 。

维护一个小根堆，存的值为 \(f(i,cnt)-f(i,cnt+1)\) ，每一次取出堆顶，将堆顶的萝卜再切一段下来，并塞回堆中 。

在这一次操作中，答案减小了 \(f(i,cnt)-f(i,cnt+1)\) ，且这个值在这一次切割操作中是最优的，所以答案是正确的。

以上操作进行 \(k-n\) 次 。

最终的答案为初始答案减去每一次取出堆顶后对答案减小的值。

大致代码：

int n,k,a[Maxn];
ll ans;
ll f(ll sum,ll cnt)
{return (sum%cnt)*(sum/cnt+1ll)*(sum/cnt+1ll)+(cnt-(sum%cnt))*(sum/cnt)*(sum/cnt);
}
struct Data
{ll sum,cnt;bool friend operator < (Data x,Data y){return (f(x.sum,x.cnt)-f(x.sum,x.cnt+1ll))<(f(y.sum,y.cnt)-f(y.sum,y.cnt+1ll));}
};
priority_queue<Data> q;
// main
n=rd(),k=rd();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=rd(),q.push((Data){1ll*a[i],1ll}),ans+=1ll*a[i]*a[i];
for(int i=1;i<=k-n;i++)
{Data cur=q.top(); q.pop();ans-=(f(cur.sum,cur.cnt)-f(cur.sum,cur.cnt+1ll)),cur.cnt+=1ll;q.push(cur);
}
printf("%lld\n",ans);