正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF183D

---

题目大意

$n$个人，$m$种衣服，给出每个人喜欢某件衣服的概率，你可以选择$n$件衣服带过去（可以重复款式）。求最大化能拿到喜欢衣服人的期望数量。

$1\le n\le 3000,1\le m\le 300$

---

解题思路

考虑暴力的$dp$，设$f_{i,j,k}$表示对于前$k$个人种类为$j$的衣服选择了$i$件。

这样显然过不了。

但是考虑答案，假设我们第$i$种衣服选择了$k$件那么产生的贡献就是
$$\sum _{j=0}^{k}i\times f_{i,j,n}+k\sum _{j=k+1}^n{f}_{i,j,n}$$

然后对于$k->k+1$会多产生的贡献就是$1-{\sum }_{j=1}^k{f}_{i,j,n}$。考虑到这个值肯定是单调递减的，所以贡献函数是一个关于$k$的上凸函数。

然后就是很经典的方法了，每次暴力选择一个能扩展的最大的扩展即可。

时间复杂度$O(n(n+m))$

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int M=310,N=3100;
int n,m,k[M];double s[M],f[2][M][N],a[M][N],ans;
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++)f[0][i][0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){scanf("%lf",&a[j][i]);a[j][i]/=1000.0;f[0][j][i]=f[0][j][i-1]*(1-a[j][i]);}for(int i=1;i<=m;i++){for(int j=1;j<=n;j++)f[1][i][j]=f[1][i][j-1]*(1-a[i][j])+f[0][i][j-1]*a[i][j];k[i]=1;s[i]=f[0][i][n];}for(int p=1;p<=n;p++){int pos=1;for(int i=2;i<=m;i++)if(s[i]<s[pos])pos=i;ans=ans+(1-s[pos]);s[pos]=s[pos]+f[k[pos]][pos][n];k[pos]^=1;int o=k[pos];for(int i=0;i<=n;i++)f[o][pos][i]=0;for(int i=1;i<=n;i++)f[o][pos][i]=f[o][pos][i-1]*(1-a[pos][i])+f[!o][pos][i-1]*a[pos][i];}printf("%.12lf\n",ans);return 0;
}