正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4783

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题目大意

给出一个矩阵，求它的逆矩阵。

$1\le n\le 400$

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解题思路

记给出矩阵$P$，记单位矩阵$E$。
$$P\times P^{-1}=E\Rightarrow P\times (E\times P^{-1})=E$$

虽然看上去上面那个式子是废话，但是这是一个提示。

因为$P$进行初等变化变为$E$的过程中相当于乘上了一个$P^{-1}$，而$P^{-1}\times E=P^{-1}$。所以如果我们拿一个$E$和$P$做一样的初等变化就变为了$P^{-1}$。

写个高斯消元就好了，但是需要注意因为一般的消元会自动省略已经消掉的部分，但是因这里要处理$P^{-1}$矩阵所以不能这么做。

时间复杂度$O(n^3)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=410,P=1e9+7;
ll n,a[N][N],b[N][N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
bool work(){for(ll i=1;i<=n;i++){for(ll j=i;j<=n;j++)if(a[j][i]){if(i!=j)swap(a[j],a[i]),swap(b[j],b[i]);break;}if(!a[i][i])return 1;ll inv=power(a[i][i],P-2);for(ll j=1;j<=n;j++)a[i][j]=a[i][j]*inv%P,b[i][j]=b[i][j]*inv%P;for(ll j=i+1;j<=n;j++){ll rate=P-a[j][i];for(ll k=1;k<=n;k++){(a[j][k]+=rate*a[i][k]%P)%=P;(b[j][k]+=rate*b[i][k]%P)%=P;}}}for(int i=n;i>=1;i--)for(int j=1;j<i;j++){for(int k=1;k<=n;k++)(b[j][k]+=P-a[j][i]*b[i][k]%P)%=P;a[j][i]=0;}return 0;
}
signed main()
{scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<=n;i++){for(ll j=1;j<=n;j++)scanf("%lld",&a[i][j]);b[i][i]=1;}if(work())return 0&puts("No Solution");for(ll i=1;i<=n;i++,putchar('\n'))for(ll j=1;j<=n;j++)printf("%lld ",b[i][j]);return 0;
}