对公平席位分配问题的探讨：最大余数法、Q值法和D’Hondt方法及其特例｜公平分配原则等

公平席位分配问题

本文研究公平的席位分配问题。对席位分配问题中经典的最大余数法、Q值法和D’Hondt方法进行研究和比较，在提出公平性判断原则的基础上，分析其优缺点。本文使用Matlab搭建三种席位分配模型，并对结果展开讨论。给出最大余数法、Q值法和D’Hondt方法的特例，并提出了一种改进最大余数法的方法，即“调和平均法”。

1.1 问题背景 1
1.2 待解决的问题 1
2.1 不公平情况的定义 1
2.2 公平分配的原则 1
3.1 最大余数法 2
3.2 Q值法 2
3.3 D’Hondt方法 3
4.1 结果分析 4
4.2 模型评价 4
4.2.1 Q值法不满足原则一的反例 4
4.2.2 D’Hondt方法满足原则一/二吗？ 5
4.2.3 我提出的名额分配方法：调和平均法 5
4.2.4 其他公平分配的理想化原则 5

第1章问题重述

1.1 问题背景

席位分配问题是人类社会生活中相当普遍的一类资源分配问题，是数学在政治领域中的典型应用。其目标是在对各小集体进行某种资源分配时，试图尽可能做到公平合理。比如，美国国会的参议院中各州享有等额议席，而众议院议员的名额按各州人口比例分配，“按人口比例分配议员名额”始终未能找到公平的解决方法。

1.2 待解决的问题

假设在甲、乙、丙三系学生中分配席位，三系学生人数分别为103、63、34。根据日常经验，若按照“比例加惯例”（也被称为最大余数法）分配席位，则在20个席位时，丙分得4席，而当席位数升至21席时，丙分得的席位数却降为3席，显然对丙来说，该席位分配原则并不公平，这个问题称为人口悖论。

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本文引用公平席位分配的两个原则，依次验证最大余数法、Q值法和D’Hondt方法在各原则上的表现情况。用Matlab建立模型，在1000名学生（甲系：235，乙系：333，丙系：432）的席位分配问题中，席位数为10和15人的情况下分别运用各模型，并将结果进行比较。在进一步分析中，给出Q值法不满足“原则一”的反例和D’Hondt方法是否满足“原则一/二”的证明。