基于线性常微分方程的我国某省艾滋病传播的数学模型建立和预测分析
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摘要
艾滋病（AIDS）又称获得性免疫缺陷综合征，由人类免疫缺陷病毒（HIV）感染引起，其传染性强，病死率高，被称为"超级癌症"。随着HIV在全球范围内的快速传播，人类面临着艾滋病的严重威胁，我国的AIDS形势也十分严峻。本文研究基于线性常微分方程的福建省艾滋病传播数学模型的建立和预测分析问题。对疾病传播中传统的SI模型进行建模和分析，根据艾滋病的特点和传播途径改进SI模型，在假设总人口数不变的前提下，提出SEID模型，新增和文化程度相关的日接触率参数、和当地卫生状况、医疗水平相关的发病率、死亡率参数，并使用ode45求解器求解动力学微分方程的数值解，绘制模型中四类人群占比随时间变化的曲线图，通过修改模型参数，对比分析不同参数下模型的表现情况。收集福建省2004—2017年艾滋病潜在传播、发病和病死人数的年度统计数据，使用线性最小二乘问题的伪逆矩阵解法，在该数据集上拟合SEID模型，得到福建省隐性传播者、感染者的日接触率、发病率和致死率的估计值，Matlab绘制拟合曲线，分析模型存在的不足，进一步得知福建省具有对艾滋病确诊患者管控措施到位、艾滋病治疗能力较高等优势，但对于潜在的隐性HIV携带者，并没有采取强有力的措施干预病毒的传播，建议今后加大艾滋病宣传力度并推广使用避孕套，以遏制病毒传播。文末还借助ARIMA模型，简要分析了广西壮族自治区艾滋病发病人数和死亡率的变化趋势和相应的防治措施。
目录
第1章 问题重述
1.1 问题背景
艾滋病是令当今各国政府最头疼的问题之一，目前全球已有208个国家和地区受到艾滋病严重威胁，中国也是受害国之一。我国自1985年第一例外来艾滋病在中国出现以来，至今HIV感染已在所有省市自治区流行[1]。根据国家卫生计生委2018年3月发布的2017年全国法定传染病疫情概况，2017年报告艾滋病发病数超过57000例，死亡数约为15000人，随之而来的经济损失可达人民币4600亿元到7700亿元[2]。因此，艾滋病一旦流行，会破坏改革开放以来的经济建设成果。虽然按照国际通行标准，就感染率而言，我国目前尚处于艾滋病低流行期，但由于我国人口基数大，艾滋病病毒感染者的绝对数很大，艾滋病防治并不乐观。特别是近年来，我国艾滋病传播有低龄化和同性化的趋势，如果不采取措施，艾滋病流行将成为国家性灾难。基于此，对艾滋病的预防、治疗和通过数学手段研究其传播过程、分析受感染人数的变化规律、探索制止病毒蔓延的手段一直是各国有关专家和官员关注的课题。
利用动力学的方法建立传染病传播的数学模型，研究某种传染病在某一地区是否会蔓延下去，而成为此地的地方病，或是这种传染病最终将被消除，是传染病学和数学相结合的一个重要的具有理论和现实意义的研究课题。而对于传染病未来发展趋势的预测工作，有利于疾病的预防和控制。1927年，Kermack和Mckendrick利用动力学方法，建立了经典的常微分方程形式的流行病数学模型。此后，该类模型得到广泛和深入的研究。运用常微分方程形式的流行病数学模型刻画艾滋病传播规律、对比不同模型的优缺点具有十分重要的意义。
1.2 艾滋病的特点和传播途径
艾滋病是一种危害性极大的传染病，是由人免疫缺陷病毒（HIV）引起的慢性传染病。HIV攻击人体免疫系统中最重要的CD4T淋巴细胞，使人体丧失免疫功能。因此，人体易于感染各种病毒，并可发生恶性肿瘤，病死率较高。
HIV在人体内的潜伏期长，平均为8～9年。目前在全世界范围内仍缺乏根治HIV感染的有效药物，就算经抗反转录病毒联合疗法（ART）治疗后，也只是控制HIV感染者体内病毒的复制水平，延长患者生存时间，无法杀死体液内的艾滋病毒[3]。也就是说，一旦感染艾滋病，会终身携带HIV病毒，具有传染性，无法彻底治愈。
切断艾滋病病毒传播途径，是控制艾滋病病毒传播的关键措施。艾滋病病毒在感染者的血液、精液、乳液以及生殖器官分泌液等体液中均有存在，所以传播途径包括血液传播、性接触传播、母婴传播三条途径。国家卫健委2018年报告显示，目前我国艾滋病流行的最主要传播途径已经由血液传播途径转变为性接触传播途径。性接触传播感染艾滋病病毒的高危人群包含男性同性恋者，男男性接触者（MSM）通过肛门性交的感染率高于阴道性交，原因在于，性交过程中直肠肠壁粘膜更容易破损，艾滋病病毒更容易进入人体引起感染。
1.3 待解决的问题
收集某省艾滋病患者、隐性携带者和病死者的数据，运用动力学方法为其建立各种数学模型，比较模型的优缺点，比较各个国家或地区的模型有何不同，并进行预测。调研艾滋病防控策略和建议，并给出采取措施后的模型效果，分析应当采取的策略，添加衡量文化程度和卫生状况的指标。
第2章 数据资料
本文使用的某省艾滋病携带者、患者和死亡人数的数据来自国家公共卫生科学数据中心艾滋病数据库[4]，该数据库收集了自2004年传染病网络直报以来报告的全部艾滋病数据，主要内容包括按地区、年龄性别、职业、病种分别统计的发病人数、发病率、死亡人数、死亡率等统计汇总数据及相关原始个案数据。
从该网站公布的数据中，收集了2004年—2017年某省艾滋病新增确诊数（患者人数）、预估新增的携带者人数和新增死亡人数的年度统计数据，对其进行累加操作，得到年度累积确诊数、累积预估携带者数和累积死亡人数。假设福建省艾滋病传播范围不变，即艾滋病始终在一定人数内传播，设定该人数为5万人，根据上述数据，计算占比，如附录表1所示。
第3章 SI模型（Susceptive-Infective Model）
3.1 模型假设
假设在艾滋病的传播期内，地区的总人数不变，即不考虑生老病死，也不考虑人口迁移。艾滋病仅有性交这一种传播途径。该地人群可分为两类，分别是易感者（Susceptive）和患病者（Infective），以下简称健康人和病人。每位病人每天（单位时间）性交对象的平均人数为一常数，称为日接触率。当病人与健康人发生性关系时，不采取任何防控措施，健康人一定被感染为病人。一旦被感染，则终身携带艾滋病病毒，无法治愈。
3.2 符号说明
3.3 模型构建
3.4 模型求解
3.5 模型分析与检验
3.5.1 模型分析
3.5.2 模型的不足
第4章 改进SI模型：SEID模型
针对SI模型存在的不足，本文提出SEID改进模型，在原有人群分类的基础上，新增暴露者和死亡者这两个仓室，使模型对艾滋病问题的刻画更加清晰合理。
4.1 模型假设
因艾滋病致死率低，对地区的总人数影响甚微，故假设在艾滋病的传播期内，地区总人数不变。艾滋病仅可通过性传播。该地人群可分为四类，分别是易感者、患病者，处在艾滋病发病潜伏期的暴露者（Exposed）和因患艾滋而死亡的死亡者（Dead），以下简称健康人、病人、隐性患者和死者。病人和隐性患者都具有传染能力，每位病人或隐性患者单位时间性交对象的平均人数均为常数，称为病人日接触率和隐性患者日接触率。隐性患者在一定的发病率的作用下，发病变为病人（也可称为确诊）。隐性患者的死亡率极低，故不考虑隐性患者死亡的情况，只有病人才会以一定的死亡率死亡，死亡后归入死亡者中。发病率和死亡率固定，不随时间推移而改变。当病人或隐性患者与健康人发生性关系时，不采取任何防控措施，健康人一定被感染为隐性患者。一旦被感染，则终身携带艾滋病病毒，无法治愈。
4.2 符号说明
4.3 模型构建
4.4 模型求解
微分方程（5）无解析解，故在Matlab中，使用通用型ODE求解器ode45，求解该非刚性微分方程的数值解。ode45采用的四阶-五阶龙格-库塔（Runge-Kutta）算法，用4阶方法提供候选解，5阶方法控制误差，是一种变步长的常微分方程数值解法。
4.5 模型分析与检验
4.5.1 模型分析
4.5.2 模型检验
4.6 模型的不足
在该模型的预测中，虽然假设福建省艾滋病仅在5万人的小群体中局部传播，但因没有有效治疗手段，随时间推移，结果是这5万人最终都会感染艾滋病，难逃死亡厄运。查阅资料得知，有些人可能天生免疫或抑制HIV病毒，比如CCR5-Δ32突变会损伤HIV感染细胞并致病的能力（北欧人发生该基因突变偏多）、人体FUT2基因上发生的一种突变会延缓艾滋病的发病等等。这类具有免疫力的人群未在模型中得到体现，导致了最终所有人死于艾滋的悲剧结果。此外，模型只考虑了艾滋病小范围传播的情况，没有将福建省4千万人口全部纳入其中，若考虑所有人口，会导致病人、隐性患者和病死者占比极小，影响模型拟合效果。也没有考虑14年来福建省人口的迁移和生老病死，模型始终建立在总人口数不变的情况下。
第5章 其他艾滋病传播模型在其他地区的建立及分析
王楚雯、胡颖、侯颖[6]（2020）认为应当利用时序模型ARIMA对艾滋病传播进行预测，她们收集了广西壮族自治区疾控中心2013年1月—2019年10月广西省艾滋病确诊数、死亡数、死亡率的月度数据，发现广西艾滋病的发病数具有随机趋势和非平稳性特征，并不像本文福建省发病数那样呈稳定增长的趋势，故对广西艾滋病发病数进行一阶差分，差分后发现消除了数据的随机性，对差分进行白噪声检验，P值小于0.05，认为发病差分序列为非白噪声序列。接着又绘制了发病数的自相关和偏相关图，自相关图表明发病数具有一阶拖尾性，偏相关图表明发病数具有二阶拖尾性。实验表明，ARIMA(2, 1, 2) 是所有模型中对艾滋病发病数拟合最好的，ARIMA(2, 1, 1) 对死亡率拟合最好。
第6章 遏制艾滋病传播的措施
为贯彻党中央、国务院决策部署，推进联合国2030年终结艾滋病流行可持续发展目标的实现，国家卫生健康委等10部门联合制定了《遏制艾滋病传播实施方案（2019—2022年）》。
方案中，要求增强个人健康责任意识、加强公共场所和流动人口宣传、加强老年人宣传教育、加强易感染艾滋病危险行为人群的健康教育、加强媒体宣传；大力推广使用安全套、艾滋病扩大检测和治疗、促进主动检测、加强流行病学调查和告知、不断提高抗病毒治疗服务；落实预防母婴传播综合干预措施、提升预防艾滋病母婴传播综合服务水平；加强普通中学、中等职业学校的性健康和预防艾滋病教育、落实普通高等学校、职业院校预防艾滋病教学任务等等。
艾滋病必将长期存在，但相信在政府的持续干预下，日接触率、发病率和死亡率会不断下降，形成人人了解艾滋病、时时预防艾滋病的良好态势。
第7章 附录（代码部分）
%% SEID模型的通用绘图函数
%% 输入: 参数x, 数据data, 数据的时间点tm
%% SEIDModel.m
function SEIDModel(x,data,tm)
y0 = data(1,:);
if sum(y0)>1y0(1) = 1-sum(y0(2:end));
end
odefun = @(t,y) seid(t,y,x);
tspan = [0 100];
[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0);
plot(...t,y(:,1),'-g',... % 健康人t,y(:,2),'-m',... % 隐性患者t,y(:,3),'-r',... % 病人t,y(:,4),'-k','LineWidth',1) % 死亡者
hold on
plot(...tm,data(:,1),'--og',... % 健康人tm,data(:,2),'--om',... % 隐性患者tm,data(:,3),'--or',... % 病人tm,data(:,4),'--ok') % 死亡者
hold off
xlabel('t');
ylabel('ratios');
legend('Expected-S','Expected-E','Expected-I','Expected-D',...'True-S','True-E','True-I','True-D');
str_f = sprintf('$$\\lambda _i=%0.4f$$\n$$\\lambda _e=%0.4f$$\n$$\\delta=%0.4f$$\n$$\\mu=%0.4f$$',x);
text(.8,.2,str_f,'Interpreter','latex','Units','normalized');function dydt = seid(t,y,x)
Li = x(1); % 病人日接触率
Le = x(2); % 隐性患者日接触率
Del = x(3); % 发病率
Mu = x(4); % 死亡率
dydt = ...[-y(1)*(Li*y(3)+Le*y(2)); -Del*y(2)+y(1)*(Li*y(3)+Le*y(2)); -Mu*y(3)+Del*y(2); Mu*y(3);];%% SEIDFit.m
%% 输入: 数据集, dt
%% 输出: 最小二乘得出的模型参数的估计值
function x=SEIDFit(data, dt)
M = size(data);
M = M(1);
A = [...-data(:,1).*data(:,3) -data(:,1).*data(:,2) zeros(M,2);...data(:,1).*data(:,3) data(:,1).*data(:,2) -data(:,2) zeros(M,1);...zeros(M,2) data(:,2) -data(:,3);...zeros(M,3) data(:,3)];
dy = diff(data);
dy(end+1,:) = dy(end,:);
dy = dy/dt;
y = dy(:);
x = inv(A'*A)*(A')*y; 第8章 附录（数据部分）
第9章 参考文献
[ 1] 吕群燕.我国艾滋病的研究情况[J].中华微生物学和免疫学杂志,2001(03):115-117.
[ 2] 中国疾病预防控制中心性病艾滋病预防控制中心. 艾滋病疫情数据摘要[EB/OL].(2018-04-19)[2021-09-28]. http://ncaids.chinacdc.cn/xxgx/yqbh/.
[3 ] 李浩洋,曲玉晨,王茜,姜世勃,陆路.分析及预测治愈艾滋病的策略[J].微生物与感染,2015,10(05):264-274.
[4 ] 国家公共卫生科学数据中心. 艾滋病数据库[EB/OL].(2017-12-30)[2021-09-28]. http://www.phsciencedata.cn/Share/ky_sjml.jsp?id=“c2ca694e-3995-4c7f-9078-3ed0aaf14556”.
[5 ] J. Lipor. Linear equations and least-squares [EB/OL].(2020-02-14)[2021-09-30]. http://web.cecs.pdx.edu/~lipor/courses/510/lectures/n-04-ls-final.pdf
[6 ] 王楚雯,胡颖,侯颖.广西壮族自治区艾滋病模型及预测分析[J].检验检疫学刊,2020,30(02):6-9.
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