区间的交

题目来源

孙耀峰Segment_Tree.pdf 原创

题目描述

• 给定$n$个区间,$[l_i,r_i]$,可以选出其中一些区间,设选出$tot$个,令$x$表示这$tot$个区间交的长度.
• 求min{x,tot}min\{x,tot\}min{x,tot}
• $n\le 10^5,1\le x_i\le y_i\le n$

题目解答

我们发现当$tot$增大时$x$会减小,具有单调性.

我们把线段看成是平面上二维的点$(l,r)$.

那么我们考虑从小到大枚举线段的交的右端点$R$,如果,交线段的长度为$x$,那么交线段左端点就是$L=R-x+1$,而所有包含这个交线段的线段(此时被表示成了数点)我们可以用一颗线段树来维护,因此我们可以很快的在线段树上找到所有$l\le L且r\ge R$的点的个数,这些个数就是$tot$.

考虑到$x=R-L+1$是一个关于$L$减函数,而$tot$则是关于$L$的增函数.
也就是说,随着$L$的增大,$x$在增大,$tot$在减小,则显然答案min{x,tot}min\{x,tot\}min{x,tot}在满足$x\le tot$最大的$L$时取得最大值$tot$.

考虑到单调性,我们使用二分法,可以很快的找到对于一个$R$,满足$x\le tot$最大的$L$.

原题解

下面是孙耀峰聚聚的题解