P4445 最长回文串

题目描述

顺序和逆序读起来完全一样的串叫做回文串。比如$acbca$是回文串，而$abc$不是（abc的顺序为$abc$，逆序为$cba$，不相同）。

输入长度为$n$的串$S$，求$S$的最长双回文子串$T$,即可将$T$分为两部分$X$，$Y$，$（|X|,|Y|\ge 1\mid X\mid ,\mid Y\mid \ge 1）$且$X$和$Y$都是回文串。

题目解答

将串$s$进行预处理增加’$‘和’#'字符得到$ns$串以便使用Manacher算法.

使用Manacher算法求以每个位置为中心的最长回文串长度数组$np$.

算法一.

根据数组$p$,处理出数组$lft,rgt$

$lft[i]$表示$ns$中以$i$为右端点的最长回文串的中心位置.

$rgt[i]$表示$ns$中以$i$为左端点的最长回文串的之心位置.

ps:由于$ns$字符串中包含了$\#$字符,因此回文串中心到一端的距离,就可以实际表示一个回文串的长度.

由于$ns$串特殊的奇偶性,我们枚举$i$,计算$rgt[i+1]-lft[i]$的最大值就是答案.

问题变成了如何求$lft,rgt$数组.

以$lft$为例,$rgt$求法类似:

枚举回文串中心的位置$i$,则$lft[i,i+np[i])$区间内未设置值得位置全都设置成为$i$.

实现代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstring>const int N = 100007;
char s[N],ns[N<<1];int np[N<<1];#define pr(x) std::cout << #x << ":" << x << std::endlstd::vector<int> vec[N<<1];
int vis[N<<1];int lft[N<<1],rgt[N<<1];int Manacher() {int len = 0,mx = 0,id;ns[len++] = '$';ns[len++] = '#';for(int i = 0;s[i];++i)ns[len++] = s[i],ns[len++] = '#';for(int i = 1;i < len;++i) {np[i] = mx > i ? std::min(np[2*id-i],mx-i):1;while(ns[i-np[i]] == ns[i+np[i]]) ++np[i];if(np[i]+i > mx) mx = np[i]+i,id = i;}int p = 0;for(int i = 0;i < len;++i) {for(;p < i + np[i];++p) {lft[p] = i;}}	p = len;for(int i = len-1;i > 0;--i) {for(;p > i - np[i];--p) {rgt[p] = i;}}int ans = 0;for(int i = 1;i < len;i++) {ans = std::max(ans,rgt[i+1] - lft[i]);}	return ans;
}int main() {std::cin >> s;std::cout << Manacher() << std::endl;return 0;
}

算法二.

计算数组$lft,rgt$

$lft[i]$表示以$i$为右端点的最长回文子串在$s$中的实际长度.

$rgt[i]$表示以$i$为左端点的最长回文子串在$s$中的实际长度.

那么答案就是枚举$i$为偶数,$ans=max(lft[i]+rgt[i+2])$

以$lft$为例,$rgt$类似:

从小到大枚举$i$,并用一个优先队列维护当前最小的回文串中心点$i$,设定在$i+np[i]$位置将优先队列中的$i$设为失效.

每次从优先队列中取出的第一个有效的数即是$lft[i]$.

这种算法的思路与算法一本质上是一样的,只不过枚举量不同,算法一枚举的是$lft[i]$,然后利用单调性将时间复杂度降低到了$O(n)$

算法二枚举的是$i$,需要用数据结构来维护,时间复杂度是$O(nlogn)$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstring>const int N = 100007;
char s[N],ns[N<<1];int np[N<<1];#define pr(x) std::cout << #x << ":" << x << std::endlstd::vector<int> vec[N<<1];
int vis[N<<1];int lft[N<<1],rgt[N<<1];int Manacher() {int len = 0,mx = 0,id;ns[len++] = '$';ns[len++] = '#';for(int i = 0;s[i];++i)ns[len++] = s[i],ns[len++] = '#';for(int i = 1;i < len;++i) {np[i] = mx > i ? std::min(np[2*id-i],mx-i):1;while(ns[i-np[i]] == ns[i+np[i]]) ++np[i];if(np[i]+i > mx) mx = np[i]+i,id = i;}for(int i = 0;i < (N << 1);++i) vec[i].clear();memset(vis,0,sizeof(vis));	std::priority_queue<int,std::vector<int>,std::greater<int> > lQ;for(int i = 1;i < len;++i) {for(auto u : vec[i]) vis[u] = 1;while(!lQ.empty() && vis[lQ.top()]) lQ.pop();lft[i] = 1;if(lQ.empty()) {lQ.push(i);vec[i + np[i]].push_back(i);continue;}else {lft[i] = std::max(lft[i],(i-lQ.top()+1)/2*2+(lQ.top()%2==0));}lQ.push(i);vec[i + np[i]].push_back(i);}for(int i = 0;i < (N << 1);++i) vec[i].clear();memset(vis,0,sizeof(vis));	std::priority_queue<int> gQ;for(int i = len-1;i;--i) {for(auto u : vec[i]) vis[u] = 1;while(!gQ.empty() && vis[gQ.top()]) gQ.pop();rgt[i] = 1;if(gQ.empty()) {gQ.push(i);vec[i - np[i]].push_back(i);continue;}else {rgt[i] = std::max(rgt[i],(gQ.top()-i+1)/2*2+(gQ.top()%2==0));}gQ.push(i);vec[i - np[i]].push_back(i);}int ans = 0;for(int i = 1;i+2 <= len;++i) if(i%2==0)ans = std::max(ans,lft[i]+rgt[i+2]);return ans;
}int main() {std::cin >> s;std::cout << Manacher() << std::endl;return 0;
}