正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6835?contestId=34123

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题目大意

$n+1$个点，其中每个$i$向$i+1$连边$(i\le n)$，然后有$m$对$(u,v)$表示$u$向$v$连边$u\ge v$。开始在点$1$，每次随机走一个相连的点。求到$n+1$号点的期望步数。

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解题思路

就是没有后效性的随机游走，设$f_i$表示$i$号点走向$i+1$号点的期望步数，$z$表示出度，我们就有方程$$f_i=\frac{{\sum }_{i->j}({\sum }_{k=j}^{i-1}{f}_k)+f_i}{z}+1$$
我们将$\frac{(z-1)\ast f_i}{z}$提出就有
$$f_i-\frac{(z-1)}{z}{f}_i=\frac{{\sum }_{i->j}({\sum }_{k=j}^{i-1}{f}_k)}{z}+1$$
$$\Rightarrow f_i=\sum _{i->j}(\sum _{k=j}^{i-1}{f}_k)+z$$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10,XJQ=998244353;
struct node{ll to,next;
}a[N*2];
ll n,m,tot,ls[N],p[N],f[N],sum[N];
void addl(ll x,ll y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return;
}
int main()
{ll id;scanf("%lld%lld%lld",&id,&n,&m);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y);}for(ll x=1;x<=n;x++){ll z=1;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;z++;f[x]=(f[x]+sum[x-1]-sum[y-1]+1+XJQ)%XJQ;}f[x]=(f[x]+1)%XJQ;sum[x]=(sum[x-1]+f[x])%XJQ;}printf("%lld",sum[n]);
}