Count on a Treap

题目来源

Codechef Feb 2014 COT5
https://www.codechef.com/problems/COT5

问题提出

什么是Treap

• 是一颗二叉搜索树,每个节点拥有$key$属性.
• 是一颗堆,每个节点拥有$weight$属性

问题

• $n$次操作,三种类型,要求维护"大根Treap"
  • $(0,k,w)$ ,插入$key$为$k,weight$为$w$的点.
  • $(1,k)$,删除$key$为$k$的点
  • $(2,k_u,k_v)$,询问$key$为$k_u,k_v$的两点在$Treap$中的距离.

保证$key$,$weight$均不相同.

问题解答

$dist(u,v)=dep(u)+dep(v)-2\ast dep(lca)$

我们以$key$为下标,将这个树按中序遍历展开.

显然$[k_u,k_v]$之间最大的$weight$最大的点就是两点的$lca$.

证明:首先$lca$一定在区间$[k_u,k_v]$之间,不然$k_u,k_v$将位于$lca$的同一侧,这不可能.其次权重最大的点一定是这颗子树的根节点,这个点一定是祖先,如果它不是$lca$的话,那么它的$key$将大于或小于$lca$形成的子树中所有的点的$key$,也就是说它不在区间$[k_u,k_v]$之间,矛盾.

至此,用线段树可以轻松维护$lca$.

那么如何维护一个点在树上的深度呢?

根据Treap的特殊性质,我们知道每个点的$weight$一定小于他父亲的$weight$.

从这个点到根节点的祖先链上的$weight$是不断递增的.

这里有一个非常特殊的性质,在序列上就是从这个点往两侧各找一个直接的递增子序列,那么序列上的点都是他的祖先.

这个性质基于这样一个事实:每个点左右两侧的第一个大于它$weight$的点,都是这个点的一个祖先.因为其中一个点是它的父亲,而另一个点…自己画图观察一下就好了.

因此两个递增序列的长度和就是它到根的距离.

如何维护某一个点向右的直接递增序列呢.也是使用线段树,参考我的另一篇博客,楼房重建.