楼房重建

题目大意

小A的楼房外有一大片施工工地，工地上有N栋待建的楼房。每天，这片工地上的房子拆了又建、建了又拆。他经常无聊地看着窗外发呆，数自己能够看到多少栋房子。

为了简化问题，我们考虑这些事件发生在一个二维平面上。小A在平面上(0,0)点的位置，第i栋楼房可以用一条连接(i,0)和(i,Hi)的线段表示，其中Hi为第i栋楼房的高度。如果这栋楼房上任何一个高度大于0的点与(0,0)的连线没有与之前的线段相交，那么这栋楼房就被认为是可见的。

施工队的建造总共进行了M天。初始时，所有楼房都还没有开始建造，它们的高度均为0。在第i天，建筑队将会将横坐标为Xi的房屋的高度变为Yi(高度可以比原来大—修建，也可以比原来小—拆除，甚至可以保持不变—建筑队这天什么事也没做)。请你帮小A数数每天在建筑队完工之后，他能看到多少栋楼房？

题目解答

给每个楼房表示成从原点到其的斜率,我们要求的就是从原点开始,斜率严格增大的序列长度.

用线段树维护.

维护区间$[l,r]$中以$a[l]$开始的递增序列的长度.

合并的时候,判断$[l,mid]$的最大值与$a[mid+1]$之间的关系.

如果$max(a[l,mid])<a[mid+1]$,则$seg[o]=seg[lch]+seg[rch]$

否的话,需要在$[mid+1,r]$中寻找递增序列的第一个数$>max(a[l,mid])$的递增序列的长度,用$find(rch,mid+1,r,max(a[l,mid]))$表示,那么合并就是
$seg[o]=seg[lch]+find(rch,mid+1,r,max(a[l,mid]))$

下面我们需要实现$find$操作

边界判断,如果$find$的区间长度为$1$,那么直接判断范围即可.

我们需要对传给$find(o,l,r,mx)$的区间$[l,r]$再分一次,递归查找.

如果$mx\le max(a[l,r])$ ,那么$res=seg[o]-seg[o.lch]+find(o.lch,l,mid,x)$
如果$mx>max(a[l,r])$ ,那么$res=find(o.rch,mid+1,r,x)$
因为$seg$是从下网上合并的,所以传给$find$的$seg[o]$是计算好了的,所以可以直接使用.

时间复杂度是$O(nlognlogn)$

代码

#include <iostream>const int N = 100007;
int n,m;double T[N<<2],M[N<<2];inline int find(int o,int l,int r,double v) {if(l == r) return v < M[o];int mid = (l + r) >> 1;if(v < M[o<<1]) return find(o<<1,l,mid,v) + T[o] - T[o<<1];else return find(o<<1|1,mid+1,r,v);
}
inline void maintain(int o,int l,int r) {M[o] = std::max(M[o<<1],M[o<<1|1]);int mid = (l + r) >> 1;T[o] = T[o<<1] + find(o<<1|1,mid+1,r,M[o<<1]);}
inline void change(int o,int l,int r,int pos,double val) {if(l == r) {M[o] = val;T[o] = 1;return ;}int mid = (l + r) >> 1;if(pos <= mid) change(o<<1,l,mid,pos,val);else change(o<<1|1,mid+1,r,pos,val);maintain(o,l,r);
}
inline void build(int o,int l,int r) {if(l == r) {M[o] = 0;T[o] = 1;return ;	}int mid = (l + r) >> 1;build(o<<1,l,mid);build(o<<1|1,mid+1,r);
}int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin >> n >> m;build(1,1,n);while(m--) {int pos;double val;std::cin >> pos >> val;change(1,1,n,pos,val/pos);std::cout << find(1,1,n,0.) << std::endl;}return 0;
}