正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT4437

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题目大意

有$n$个点的一张有向完全图，每个点有两个点权$a,b$。连接$x,y$两个点的边权为min{ax,by}min\{a_x,b_y\}min{ax​,by​}，求一条权值和最小的哈密顿回路。

$1\le n\le 10^5,1\le a,b\le 10^9$

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解题思路

又是$min$又是权值最小，我们可以把问题转换为从$x$走到$y$的权值可以选择$a_x$或者$b_y$，然后求最小的权值和。

一个暴力的想法是对于每个$a_x$对应一个$b_y$来匹配，但是这样很显然容易导致选出的是若干个小环。

我们可以考虑具体一个点的贡献，我们根据$a$和$b$是否产生了贡献记为一个二进制位，那么每个点的贡献有$00,01,10,11$，考虑什么时候一个方案合法。

把每个$a/b$视为一个二分图，并且$a_i$向$b_i$连边，然后我们之后连的边中要求两个端点恰好有一个$1$，确立如下图所示规则：

1. $11+00=10/01/ring$
2. $01+01=01/ring$，同理有$10+10=10/ring$
3. $00+01/10=00$
4. $11+01/10=11$

不难发现一个合法的构造只有两种情况

1. 全部都是$01$或者$10$
2. $00$和$11$各有$k(k\ge 1)$个，其余$01/10$任意

第一种情况直接计算

第二种情况我们对于每一个默认为$01/10$中权值最小的一个，然后一个01/10→11(ans+max{ai,bi})01/10\rightarrow 11(ans+max\{a_i,b_i\})01/10→11(ans+max{ai​,bi​})，一个01/10→00(ans−min{ai,bi})01/10\rightarrow 00(ans-min\{a_i,b_i\})01/10→00(ans−min{ai​,bi​})，我们可以用两个堆分别维护max{ai,bi}max\{a_i,b_i\}max{ai​,bi​}和min{ai,bi}min\{a_i,b_i\}min{ai​,bi​}

需要注意的是由于第二种情况至少需要一个$00/11$所以就算第一次会让答案变大也得变，而且有可能出现第一次选择的max{ai,bi}max\{a_i,b_i\}max{ai​,bi​}和min{ai,bi}min\{a_i,b_i\}min{ai​,bi​}是同一个$i$，需要特判。

时间复杂度：$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10;
ll n,a[N],b[N],ans1,ans2,ans;
priority_queue<pair<ll,ll> > q1,q2;
signed main()
{scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<=n;i++){scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);ans1+=a[i];ans2+=b[i];q1.push(mp(min(a[i],b[i]),i));q2.push(mp(-max(a[i],b[i]),i));ans+=min(a[i],b[i]);}pair<ll,ll> x=q1.top(),y=q2.top();if(x.second==y.second){q1.pop();q2.pop();pair<ll,ll> l=q1.top(),r=q2.top();ans+=min(-r.first-x.first,-y.first-l.first);}else{q1.pop();q2.pop();ans+=-y.first-x.first;while(1){ll x=q1.top().first,y=-q2.top().first;q1.pop();q2.pop();if(x<=y)break;ans+=y-x;}}printf("%lld\n",min(ans,min(ans1,ans2)));return 0;
}