AGC005D - ~K Perm Counting

Solution

经典数排列个数题，写了个大麻烦容斥。

直接容斥，考虑求出$f_i$表示有$i$个位置$|p_i-i|=k$的方案数。一个位置$i$满足$|p_i-i|=k$，要么$p_i=i+k$，要么$p_i=i-k$，当前面的位置选择了$p_i=i+k$时，后面的$p_{i+2k}$就不能选择$i+k$了，前面可能对后面产生影响。

因此我们发现对于下标$modk$不同的位置之间一定没有影响，于是我们对$modk$余数分类，拉出$n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k$条长为$\lfloor \frac{n}{k}\rfloor +1$的链和$k-n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k$条长为$\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$的链，此时$|p_i-i|=k$等价于选择了该点在链上的相邻点，把这些链的$f$值用背包合并起来就是我们要求的$f$。

于是我们要对每一种$j$，算出一条链上选取$j$个的方案数。令$g_{i,j,k}$表示前$i$点，选取$j$个相邻点，$i-1,i,i+1$的选取状态为$k$的方案数。

最后的答案要算上没选的点的任意选取的排列个数，即：
$$Ans=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i{f}_i(n-i)!$$

时间复杂度$O(n^2)$，据说也有$O(nlgn)$的更麻烦做法。

Code

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=924844033;
const int MAXN=2005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f;
}
int num=0,h[MAXN],g[MAXN][MAXN][8],f[MAXN],fac[MAXN],tmp[MAXN];
int upd(int x,int y) { return x+y>=mods?x+y-mods:x+y; }
void Merge(int q)
{for (int j=0;j<=q;j++) {h[j]=0;for (int t=0;t<4;t++) h[j]=upd(h[j],g[q][j][t]);}num+=q;for (int j=0;j<=num;j++) tmp[j]=0;for (int j=num;j>=0;j--)for (int k=0;k<=q;k++) if (j>=k) tmp[j]=upd(tmp[j],1ll*f[j-k]*h[k]%mods);for (int j=0;j<=num;j++) f[j]=tmp[j];
}
signed main()
{int n=read(),p=read(),q=n/p+1;fac[0]=1;for (int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mods;g[1][0][0]=g[1][1][4]=1;for (int i=1;i<q;i++)for (int j=0;j<=i;j++){for (int k=0;k<8;k++) g[i+1][j][k>>1]=upd(g[i+1][j][k>>1],g[i][j][k]);for (int k=0;k<8;k++){if (!((k>>1)&1)) g[i+1][j+1][(k>>1)|1]=upd(g[i+1][j+1][(k>>1)|1],g[i][j][k]);if (!((k>>1)&4)) g[i+1][j+1][(k>>1)|4]=upd(g[i+1][j+1][(k>>1)|4],g[i][j][k]);}}f[0]=1;int r=n%p; for (int i=1;i<=r;i++) Merge(q);for (int i=1;i<=p-r;i++) Merge(q-1);int ans=0;for (int i=0;i<=n;i++) if (i&1) ans=upd(ans,mods-1ll*f[i]*fac[n-i]%mods);else ans=upd(ans,1ll*f[i]*fac[n-i]%mods);printf("%d\n",ans);return 0;
}