AGC012D - Colorful Balls(并查集)

AGC012D - Colorful Balls

Solution

连边题。
找出 $w$ 最小的球 $y$ 和 $w$ 最小且颜色和 $y$ 不同的球 $z$ 。

$y$ 向所有 $colt≠coly,wt+wy≤Ycol_t\not =col_y,w_t+w_y\leq Y$ 的球 $t$ 连边。
$z$ 向所有 $colt≠coly,wt+wz≤Ycol_t\not =col_y,w_t+w_z\leq Y$ 的球 $t$ 连边。
每个球 $x$ 和与自己颜色相同的 $w$ 最小的球 $t$ 连边，且需要满足 $wx+wt≤Xw_x+w_t\leq X$ 。

连边后连通块内部的点都可以任意交换位置。

且这样连边一定是合法的，并且包含了初始图所有可交换位置的信息。因为两个点交换如果要找中转点，选择 $w$ 最小的显然不劣，那么把颜色相同的、颜色不同的最小点连边一定可以弄出所有的交换方案。

容易证明颜色数超过 $1$ 的连通块至多有一个，且这个连通块包含 $y$ ，答案只与这个连通块有关。设该连通块点数为 $n u m$ ，各个颜色的球在该连通块中有 $cnt_1,cnt_2...cnt_k$ 个，则有： $Ans=num!∏i=1kcnti!Ans=\frac{num!}{\prod\limits _{i=1}^k cnt_i!}$

于是用并查集维护连通块即可。

时间复杂度 $O (n l g n)$ 。

Code

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=1e9+7;
const int MAXN=600005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f;
}
vector<int> V[MAXN];
int f[MAXN],col[MAXN],w[MAXN],cnt[MAXN],fac[MAXN],inv[MAXN];
int find(int x) { return f[x]==x?f[x]:f[x]=find(f[x]); }
int quick_pow(int x,int y)
{int ret=1;for (;y;y>>=1){if (y&1) ret=1ll*ret*x%mods;x=1ll*x*x%mods;}return ret;
}
void Init(int n)
{fac[0]=1;for (int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mods;inv[n]=quick_pow(fac[n],mods-2);for (int i=n-1;i>=0;i--) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mods;
}
signed main()
{int n=read(),X=read(),Y=read();Init(n);for (int i=1;i<=n;i++) col[i]=read(),w[i]=read(),V[col[i]].PB(i),f[i]=i;int id1=1,id2=0; w[0]=INF;for (int i=1;i<=n;i++) if (w[i]<w[id1]) id1=i;for (int i=1;i<=n;i++) if (col[i]!=col[id1]&&w[i]<w[id2]) id2=i;for (int i=1;i<=n;i++) if (col[i]!=col[id1]&&w[i]+w[id1]<=Y) f[find(i)]=find(id1);for (int i=1;i<=n;i++) if (col[i]!=col[id2]&&w[i]+w[id2]<=Y) f[find(i)]=find(id2);for (int i=1;i<=n;i++)if (V[i].size()){int id=V[i][0];for (auto v:V[i]) if (w[v]<w[id]) id=v;for (auto v:V[i]) if (w[v]+w[id]<=X) f[find(v)]=find(id);}int num=0;for (int i=1;i<=n;i++)if (find(f[i])==find(id1)) num++,cnt[col[i]]++;int ans=fac[num];for (int i=1;i<=n;i++)if (cnt[i]) ans=1ll*ans*inv[cnt[i]]%mods;printf("%d\n",ans);return 0;
}