CF1478A - Nezzar and Colorful Ball(数学)

CF1478A - Nezzar and Colorful Balls

Solution

真不戳，这 $A$ 题真不戳，我直接好家伙。

讲一下我搞了半个小时的垃圾做法 ~~（好吧后来看了看标算好像和我是一样的）~~ 。
大概是容易发现你两个数 $(x, y)$ 做来做去最后一定是 $a x - (a - 1) y$ 的形式，然后再继续搞一搞三个数的，最后你发现每个数的贡献次数之和等于 $1$ ，于是问题变成了这样子：
给定 $a_1...a_n$ ，问是否存在一个 $x_1...x_n$ ，使得：
$∑i=1nxi=1∑i=1naixi=k\sum_{i=1}^n x_i=1\\ \sum_{i=1}^n a_ix_i=k$
从上面的式子可知：
$xn=1−∑i=1n−1xix_n=1-\sum_{i=1}^{n-1} x_i$
代入下面的式子：
$∑i=1naixi=∑i=1n−1aixi+an(1−∑i=1n−1xi)=∑i=1n−1(ai−an)xi+an\sum_{i=1}^na_ix_i=\sum_{i=1}^{n-1}a_ix_i+a_n(1-\sum_{i=1}^{n-1}x_i)=\sum_{i=1}^{n-1}(a_i-a_n)x_i+a_n$
于是我们有：
$∑i=1n−1(ai−an)xi=k−an\sum_{i=1}^{n-1}(a_i-a_n)x_i=k-a_n$
那么就是一个 $∑iaixi=b\sum_i a_ix_i=b$ 的裴蜀定理的形式，有解的条件就是：
$gcd(a_i-a_n)|k-a_n$
注意这里为了避免 $a_i-a_n<0$ ，我们给降序序列排序，于是 $a_n$ 为最小值。

时间复杂度 $O (n l g n)$ 。

然后就没了，对，就没了。我真是个铁憨憨。

Code

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=600005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline ll read()
{ll f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f;
}
ll a[MAXN];
ll gcd(ll x,ll y) { return y==0?x:gcd(y,x%y); }
signed main()
{int Case=read();while (Case--){int n=read(); ll k=read(),g=0;for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();sort(a+1,a+n+1,greater<ll>());for (int i=1;i<n;i++) a[i]-=a[n]; k-=a[n];for (int i=1;i<n;i++) g=gcd(g,a[i]);puts(k%g==0?"YES":"NO");} return 0;
}