AGC011D - Half Reflector

Solution

先考虑改变一次。
我们令$L$表示往左走的球，$R$表示往右走的球，$x$表示任意种类的球，$(-x)$表示与$x$相反种类的球。

• 当球处于$ARA$的状态（即有一个向右的球在两个$A$机器人之间）时，状态会这样改变：$ARA\to ALB\to BRB\to BAR$。

• 当球处于$ARB$的状态，$ARB\to AAR$。

观察这两种变化，可以得到下列信息：

• 按此过程进行时，做完一个$ARx$之后会变成$(-x)AR$，然后$R$的位置后推一个单位。
• 进行一次该过程会让$R$前面的球的种类变成$R$后面一个球的种类
• 当$R$前面有一个$A$之后，后面的所有状态$R$前面都是$A$。也就是如果某一时刻能做了，这个过程能一直做直到$R$在最末尾。
• 结束之后最末尾是$A$。

因此倘若初始时第一个球是$A$，那么我们必然不能进行该过程，则把它改成$B$。
否则会把前面连续一段$B$变成$A$，状态变成$AAA...RAxx...x$的形式，然后开始做上面的过程，从$R$左边的$A$开始的每个球变成它后面一个球的种类取反，这个过程相当于循环左移一个单位再整体取反。

于是我们可以维护一个$rev$表示全局翻转的次数，用类似队列的东西$O(k)$做了。

然后这题还有一个性质：
最多$2n$次之后，序列会循环变化，这个循环大小为$1$或$2$。
每整体循环位移一次之后，都会在末尾加一个$A$，而每次循环位移之前的整体取反会让之前的$A$变成$B$因此最多$2n$次之后，会变成$xBABABA$的形式。

因此我们做$min(k,2n+(kmod2))$次操作得到的序列就是答案了。

时间复杂度$O(k)$

Code

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=600005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f;
}
char st[MAXN];
int flag[MAXN];
signed main()
{int n=read(),k=read(),t=min(k,n*2+(k&1)),nw=1,rev=0;scanf("%s",st+1);for (int i=1;i<=n;i++) flag[i]=st[i]-'A';for (int i=1;i<=t;i++){if (flag[nw]^rev) rev^=1,flag[nw+n]=flag[nw],nw++; else flag[nw]^=1;}for (int i=nw;i<=nw+n-1;i++) putchar((flag[i]^rev)+'A');return 0;
}