一、马尔可夫决策过程

状态转移概率：用$p[s_{t+1},r_t|s_t,a_t]$表示在状态$s_t$选择动作$a_t$时，转移到状态$s_{t+1}$，得到奖励$r_t$的概率。
状态转移概率是具有马尔可夫性质的，系统下一时刻的状态仅有当前时刻的状态决定，不依赖于以往任何状态。

马尔可夫决策过程的四元组：$(S,A,P,R)$。加上折扣因子$\gamma$组成五元组。

概率函数：$P[s_{t+1},r_t|s_t,a_t]$
奖励函数：$R[s_t,a_t]$
若知道概率函数和奖励函数，则马尔可夫决策过程就是已知的，可以通过策略迭代和价值迭代找到最佳策略。换句话说，如果知道环境的状态转移概率和奖励函数，则环境就是已知的，可以用这两个函数来描述环境。这种情况下的算法为有模型算法。

如果环境未知，则是免模型算法。

免模型强化学习方法没有获取环境的状态转移和奖励函数，而是让智能体与环境进行交互，采集大量的轨迹，从轨迹中获取信息改进策略。

二、Q表格

如下图所示，Q表格的行为所有状态，列为所有动作。最开始Q表格全部初始化为0。当交互足够多时，可以估算出每一个状态下，每个动作的平均总奖励，更新Q表格。

强化：指可以用下一个状态的价值更新当前状态的价值，即自举。

每走一步更新一次Q表格，用下一个状态的Q值更新当前状态的Q值，这种单步更新的方法称为时序差分方法（TD，Temporal Difference）。

三、免模型预测

在免模型状态下，可以通过蒙特卡洛方法和时序差分方法估计某个给定策略的价值。

1. 蒙特卡洛策略评估

是基于采样的方法，给定策略$\pi$，让智能体与环境交互，得到很多轨迹。每个轨迹都有回报：
$$G_t=r_{t+1}+\gamma r_{t+2}+{\gamma }^2{r}_{t+3}+\cdots$$则某一个策略对应状态的价值，可以用所有轨迹的回报的平均值表示：
$$V_{\pi }(s)={\mathbb{E}}_{\tau \sim \pi }[G_t|s_t=s]$$蒙特卡洛仿真指：可以采样大量的轨迹，计算所有轨迹的真实回报，计算平均值。
其使用经验平均回报的方法进行估计，因此不需要状态转移函数和奖励函数，也不需要自举。
蒙特卡洛只能用在有终止的马尔可夫决策过程中。

写成增量式蒙特卡洛：
$$\begin{gathered} N(s_t)\leftarrow N(s_t)+1 \\ V(s_t)\leftarrow V(s_t)+\frac{1}{N(s_t)}\left(G_t-V(s_t)\right) \end{gathered}$$把$\frac{1}{N(s_t)}$看成学习率$\alpha$，则
$$V(s_t)\leftarrow V(s_t)+\alpha \left(G_t-V(s_t)\right)$$

1) 动态规划方法和蒙特卡洛方法的差异

动态规划中使用了自举的思想，即基于之前估计的量来估计一个量。同时使用了贝尔曼期望备份，通过上一时刻的$V_{i-1}(s^{\prime })$来更新当前时刻的$V_i(s)$，即
$$V_i(s)\leftarrow \sum _{a\in A}\pi (a|s)\left(R(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }\in S}P\left(s^{\prime }|s,a\right)V_{i-1}(s^{\prime })\right)$$ 不停迭代后可以收敛。
贝尔曼期望备份有2层加和，内部和与外部和，计算两次期望，得到一个更新。

蒙特卡洛通过一个回合的经验平均回报来进行更新
$$V(s_t)\leftarrow V(s_t)+\alpha \left(G_{i,t}-V(s_t)\right)$$蒙特卡洛方法得到的轨迹是已经决定的，采取的动作也是决定的，只更新该轨迹上的所有状态，与该轨迹无关的状态都不进行更新。

蒙特卡洛适用于环境未知的情况，动态规划是有模型的方法；
蒙特卡洛只需要更新一条轨迹的状态，动态规划需要更新所有状态。

2. 时序差分

是介于蒙特卡洛和动态规划之间的方法，免模型，可以从不完整的回合中学习，并结合了自举的思想。

目的：对某个给定的策略$\pi$，在线计算出七价值函数$V_{\pi }$，即一步一步的算。最简单的算法是一步时序差分，即TD(0)。每往前走一步，就做一步自举，用得到的估计回报$r_{t+1}+\gamma V(s_{t+1})$来更新上一时刻的$V(s_t)$：
$$V(s_t)\leftarrow V(s_t)+\alpha \left(r_{t+1}+\gamma V(s_{t+1})-V(s_t)\right)$$其中估计回报$r_{t+1}+\gamma V(s_{t+1})$称为时序差分目标，是带衰减的未来奖励的总和。

时序差分目标由2部分组成：

1. 走了某一步之后得到的实际奖励$r_{t+1}$；
2. 利用自举方法，通过之前的估计来估计$V(s_{t+1})$，且加了折扣因子$\gamma$。

时序差分目标之所以是估计，有2个原因：

1. 时序差分方法对期望值进行采样；
2. 时序差分方法使用当前的估计的V，而不是真实的$V_{\pi }$。

2.1 时序差分误差

$$\delta =r_{t+1}+\gamma V(s_{t+1})-V(s_t)$$类比增量式蒙特卡洛：
$$V(s_t)\leftarrow V(s_t)+\alpha \left(G_{i,t}-V(s_t)\right)$$这里的$G_{i,t}$即为$r_{t+1}+\gamma V(s_{t+1})$，$G_{i,t}-V(s_t)$即为$\delta =r_{t+1}+\gamma V(s_{t+1})-V(s_t)$。在蒙特卡洛里，$G_{i,t}$是实际得到的值，因为它已经把一条轨迹跑完了。而时序差分不等轨迹结束，往前走一步，就可以更新价值函数。时序差分只执行一步，状态的值就更新。蒙特卡洛方法全部执行完之后，到了终止状态之后，再更新它的值。

对比：

1. 时序差分可以在线学习，每走一步就更新，效率高。蒙特卡洛要等游戏结束才能学习。
2. 时序差分可以从不完整序列上进行学习，蒙特卡洛只能从完整序列上学习。
3. 时序差分可以再连续的环境下（没有终止）进行学习，蒙特卡洛只能在有终止的情况下学习。
4. 时序差分李永乐马尔科夫性质，在马尔可夫环境下有更好的学习效率。蒙特卡洛没有假设具有该性质。

2.2 时序差分方法的推广

往前走一步为TD(0)，可以调整步数，变成n步时序差分。如TD(2)即为往前走2步，利用2步得到的回报，使用自举来更新状态的价值。因此可以通过调整步数，来调整算法所需要的实际奖励和自举。
$$\begin{array}{rl}n=1(TD)G_t^{(1)}& =r_{t+1}+\gamma V(s_{t+1})\\ n=2G_t^{(2)}& =r_{t+1}+\gamma r_{t+2}+{\gamma }^{2}V(s_{t+2})\\ ⋮& \\ n=\infty (MC)G_t^{\infty }& =r_{t+1}+\gamma r_{t+2}+\cdots +{\gamma }^{T-t-1}{r}_T\end{array}$$当$n=\infty$时，则整个游戏结束后再进行更新，时序差分就变成了蒙特卡洛。

以上为时序差分目标。得到时序差分目标之后，用增量式学习的方法更新状态的价值：
$$V(s_t)\leftarrow V(s_t)+\alpha \left(G_t^n-V(s_t)\right)$$

3. 自举与采样

自举是指更新时使用了估计。
蒙特卡洛没有使用自举，它根据实际的回报进行更新，没有估计。动态规划和时序差分使用了自举。

采样是指更新时通过采样得到一个期望。
蒙特卡洛是纯采样的方法。动态规划没有采样，根据贝尔曼期望方程进行更新状态价值。时序差分使用了采样，时序差分目标$G$由2部分组成，采样与自举。

• 动态规划：直接计算期望，把所有相关状态都加和
  $$V(s_t)\leftarrow {\mathbb{E}}_{\pi }[r_{t+1}+\gamma V(s_{t+1})]$$
  

• 蒙特卡洛：在当前状态下，采取一条支路，在该路径上更新，即更新该路径上的所有状态
  $$V(s_t)\leftarrow V(s_t)+\alpha (G_t-V(s_t))$$
  

• 时序差分：从当前状态开始，往前走1步，关注局部的步骤
  $$TD(0):V(s_t)\leftarrow V(s_t{)}_{\alpha }\left(r_{t+1}+\gamma V(s_{t+1})-V(s_t)\right)$$
  
  如果时序差分进行广度的更新，就变成了动态规划；
  如果时序差分需要深度的更新，就变成了蒙特卡洛。