WHAT IS THE DIFFERENCE BETWEEN A THEOREM(定理), LEMMA（引理）,AND A COROLLARY（推论）?
PROF. DAVE RICHESON

(1) Definition（定义）

对某个数学概念\术语（符号、表达）的解释。
An explanation of the mathematical meaning of a word.

a precise and unambiguous description of the meaning of a mathematical term. It characterizes the meaning of a word by giving all the properties and only those properties that must be true.
定义: 精确和清晰地描述数学术语的含义.
定义是对一类事物特征的总结，即用有严密逻辑的语言来说明一个专业名词的意义、前提及其所包含的范围
定义（定义）------精确和清晰的数学术语的含义描述。它描述了一个单词的意思，给出了所有的那些一定是真实的属性。

定义（Definition）是透过列出一个事件或者一个物件的基本属性来描述或规范一个词或一个概念的意义，或者说是用简单的事物和一些限制条件来描述新的复杂的事物。

一般的句式：
A是XX的B。
满足XX的B称为A。

显然这两个句式说得是一回事情，第一个句式就是一般下定义，记得高考语文里经常出这种题目，请给XX下个定义。第二个句式更多侧重强调A的名字，更有命名的含义。

(2) axiom（公理）:

没有经过证明, 但被当作不证自明的一个命题. 因此, 其真实性被视为是理所当然的, 且被当做演绎及推论其它(理论相关)事实的起点.
公理是人们在实践过程中发现的规律，无法给出科学理论上的严密证明而又被绝大多数人认可的结论。比如：过两个不重合的点有且仅有一条直线。

定义和公理是任何理论的基础，定义解决了概念的范畴，公理使得理论能够被人的理性所接受。

(3) Theorem（定理）

被证明是正确的陈述。（一般用于为文章中的重要结论做准备）
A statement that has been proven to be true.

a mathematical statement that is proved using rigorous mathemat-ical reasoning. In a mathematical paper, the term theorem is often reserved for the most important results.
定理: 是经过受逻辑限制的证明为真的陈述. 一般来说, 在数学中, 只有重要或有趣的陈述才叫定理. 证明定理是数学的中心活动.

定理（theorem）是一个比较重要的、能够被证明为真的语句，简称Thm。有时也被称为事实(fact)或结论(result)。

定理是一类特殊的命题，首先其是可以被学科理论严密证明的真命题，在学科内被广泛应用后，为进一步的研究方便而规定该命题为定理。

(4) Proposition（命题）

一个对后文的证明不是特别重要却仍然有参考和辅助作用的正确陈述。
A less important but nonetheless interesting true statement.

a proved and often interesting result, but generally less important than a theorem.
命题: 命题是一个可以判断真或假的陈述句, 亦有既真又假的命题(悖论).
命题就是表述严密，没有歧义的一句或多句学术语言，一般表现为具有前提范围，提出条件继而得出结论的形式。
命题（命题）-----陈述一个结论，但一般属于不太重要的定理。

定理和命题就是在定义和公理的基础上通过理性的加工使得理论的再延伸，我认为它们的区别主要在于，定理的理论高度比命题高些，定理主要是描述各定义（范畴）间的逻辑关系，命题一般描述的是某种对应关系（非范畴性的）。而推论就是某一定理的附属品，是该定理的简单应用。

定理（定理）----数学语句，使用严格的数学推理证明的。在数学中，术语定理通常是那些最重要的结论。
引理（引理）----一个次要结论，其唯一的目的是辅助证明定理。它是证明一个定理的一个基石。很少的引理具有自己的生命。

(5) Lemma（引理）

a minor result whose sole purpose is to help in proving a theorem. It is a stepping stone on the path to proving a theorem. Very occasionally lemmas can take on a life of their own (Zorn’s lemma, Urysohn’s lemma, Burnside’s lemma,Sperner’s lemma).
引理: 是数学中为了取得某个更好的结论而作为步骤被证明的命题, 其意义并不在于自身被证明, 而在于为达成最终目的作出贡献.

引理就是在证明某一定理时所必须用到的其它定理。而在一般情况下，就像前面所提到的定理的证明是依赖于定义和公理的。

用于证明其他命题的正确陈述。（辅助证明theorem的某个重要的中间结论）
A true statement used in proving other true statements (that is, a less important theorem that is helpful in the proof of other results).

引理(lemma)是一个不太重要但是有助于证明其他结论的定理。当用一系列引理来进行复杂的证明时通常比较容易理解，其中每一个引理都被独立证明。
当一个定理的证明比较复杂，篇幅比较长时，就可能会把一些需要用到命题抽取出来，它就是引理，这样证明过程显得更加清晰。引理必须是不太重要的命题，当用它将后面的定理证明完之后 ，这个引理基本就没有用，可以扔掉了。引理就是为了证明后面的定理的，引理可以先证明了再用，也可以先假定它正确直接用，之后再证明。

引理(lemma)和定理（theorem）应该是根据文章目的不同而区分的，同样的论点在这篇文章可以是引理，在那篇文章可以是定理。

(6) Corollary（推论）

从定理或命题中简单推导出来的正确陈述。
A true statment that is a simple deduction from a theorem or proposition.

a result in which the (usually short) proof relies heavily on a given theorem (we often say that \this is a corollary of Theorem A").
推论: 指能够"简单明了地"从前述命题推出的论断, 推论往往在定理后出现. 如果命题B能够被简单明了的从命题A推导出, 则称B为A的推论.

推论(corollary)是从一个已经被证明的定理可以直接建立起来的定理。

推论（推论）-----一个简短的结果，在很大程度上依赖于一个给定的定理来证明（我们常说，这是一个定理的推论）。

(7) Conjecture（推测，猜想）

被认为是正确的陈述。
A statement believed to be true, but for which we have no proof. (a statement that is being proposed to be a true statement).

a statement that is unproved, but is believed to be true (Collatz conjecture, Goldbach conjecture, twin prime conjecture).
猜想: 是相信为真但未被证明的数学叙述, 当它经过证明后便是定理. 猜想是定理的来源, 但并非唯一来源. 一个从其他定理引伸出来的数学叙述可以不经过成为猜想的过程, 成为定理.

猜想（推测，猜想）----一个声明，未经证实，但被认为是真的

(8) Claim（断言）

an assertion that is then proved. It is often used like an informal lemma.
索赔（断言）-----断言，然后证明。它常被用作非正式的引理。

(9) Axiom/Postulate（公理/假定）

某数学研究情境下最为基本的假设（一定是正确的，和 Postulate 相当）。
A basic assumption about a mathematical situation. (a statement we assume to be true).

a statement that is assumed to be true without proof. These are the basic building blocks from which all theorems are proved (Eu-clid’s ve postulates, Zermelo-Frankel axioms, Peano axioms).

(10) Proof 证明

对命题的解释。
The explanation of why a statement is true.

(11) Identity（恒等式）

a mathematical expression giving the equality of two (often variable) quantities (trigonometric identities, Euler’s identity).

(12) Paradox（悖论）

a statement that can be shown, using a given set of axioms and de nitions, to be both true and false. Paradoxes are often used to show the  inconsistencies in a awed theory (Russell’s paradox). The term paradox is often used informally to describe a surprising or counterintuitive result that follows from a given set of rules  (Banach-Tarski paradox, Alabama paradox, Gabriel’s horn).

(13) Hypothesis (假说)

根据已知的科学事实和科学原理, 对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明.

证明（proof）就是建立定理真实性的一个有效论证。证明中可以用到公理(axiom)（或假设(postulate)），即假定为真的语句。

(14) Notation (记法)

https://www.zhihu.com/question/26098407
https://www.google.com.hk/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjI0JWY3sftAhWuGaYKHVRXAwgQFjABegQICRAC&url=https%3A%2F%2Fusers.math.msu.edu%2Fusers%2Fduncan42%2FAxiomNotes.pdf&usg=AOvVaw2EQncZYPgm4iyNnS-Z-lrJ
https://divisbyzero.com/2008/09/22/what-is-the-difference-between-a-theorem-a-lemma-and-a-corollary/
https://www.ilovematlab.cn/thread-67367-1-1.html