奇异矩阵,非奇异矩阵,伪逆矩阵

奇异矩阵就是Singular Matrix 的中文翻译。

Singular 就是唯一的,可以想成是单身狗,所以他没有对象 逆矩阵。
Non-singular的非奇异矩阵就是Couple 有逆矩阵。

奇异矩阵

奇异矩阵是线性代数的概念,就是对应的行列式等于0的矩阵。

奇异矩阵的判断方法:首先,看这个矩阵是不是方阵(即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等,那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵)。 然后,再看此方阵的行列式|A|是否等于0,若等于0,称矩阵A为奇异矩阵;若不等于0,称矩阵A为非奇异矩阵。 同时,由∣A∣≠0|A|≠0A=0可知矩阵A可逆,这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵,非奇异矩阵也是可逆矩阵。 如果A为奇异矩阵,则AX=0AX=0AX=0有无穷解,AX=bAX=bAX=b有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵,则AX=0AX=0AX=0有且只有唯一零解,AX=bAX=bAX=b有唯一解。

如果A(n×m)A(n×m)A(n×m)为奇异矩阵(singular matrix)<=> A的秩Rank(A)<n.

如果A(n×m)A(n×m)A(n×m)为非奇异矩阵(nonsingular matrix)<=> A满秩,Rank(A)=n.

非奇异矩阵:

若n阶矩阵A的行列式不为零,即 ∣A∣≠0|A|≠0A=0,则称A为非奇异矩阵或满秩矩阵,否则称A为奇异矩阵或降秩矩阵。

若n阶矩阵A的行列式不为零,即 ∣A∣≠0|A|≠0A=0,则称A为非奇异矩阵,否则称A为奇异矩阵。

判定方法
n 阶方阵 A 是非奇异方阵的充要条件是 A 为可逆矩阵,也即A的行列式不为零。 即矩阵(方阵)A可逆与矩阵A非奇异是等价的概念。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵A,如果存在一个矩阵 B 使 AB=BA=EAB = BA =EAB=BA=E( E是单位矩阵),则称 A 是可逆的,也称 A 为非奇异矩阵,此时A和B互为逆矩阵。

一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。

一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

一个矩阵非奇异当且仅当它的秩为n

AX=bAX=bAX=b 有唯一解

AX=0AX=0AX=0 有且仅有零解

A可逆

如果n 阶方阵A奇异,则一定存在一个n*1阶非零向量X使: X′AX=0X'AX=0XAX=0;成立

注意:若A为非奇异矩阵,其顺序主子阵Ai(i=1,...,n−1)A_i(i=1,...,n-1)Aii=1,...,n1不一定均非奇异

方阵A可逆的充要条件是
在线性代数中,给定一个 n 阶方阵 A,若存在一 n 阶方阵 B 使得 AB=BA=InAB = BA = I_nAB=BA=In,其中 InI_nIn 为 n 阶单位矩阵,则称 A 是可逆的,且 B 是 A 的逆阵,记作 A 。 若方阵 A 的逆阵存在,则称 A 为非奇异方阵或可逆方阵。 给定一个 n 阶方阵 A,则下面的叙述都是等价的: A 是可逆的、A 的行列式不为零、A 的秩等于 n(A 满秩)、A 的转置矩阵 A也是可逆的、AA 也是可逆的、存在一 n 阶方阵 B 使得 AB=InAB = I_nAB=In、存在一 n 阶方阵 B 使得 BA=InBA = I_nBA=In。 A是可逆矩阵的充分必要条件是︱A︱≠0︱A︱≠0A=0(方阵A的行列式不等于0)。

n方阵可逆的条件有以下几种判断,满足其中一项即可

1,R(A)=nR(A)=nRA=n
2,存在n阶方阵B使得AB=BA=EAB=BA=EAB=BA=E
3,A经有限次的初等变换可化为EnEnEn
4,Ax=0Ax=0Ax=0,有唯一解。

伪逆矩阵

对于矩阵A,如果存在一个矩阵B,使得AB=BA=IAB=BA=IAB=BA=I,其中III为与A,B同维数的单位阵,就称A为可逆矩阵(或者称A可逆),并称B是A的逆矩阵,简称逆阵。(此时的逆称为凯利逆)
矩阵A可逆的充分必要条件是∣A∣≠0|A|≠0A=0
奇异矩阵阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵,但可以用函数pinv(A)pinv(A)pinv(A)求其伪逆矩阵。
基本语法为X=pinv(A),X=pinv(A,tol)X=pinv(A),X=pinv(A,tol)X=pinv(A),X=pinv(A,tol),其中toltoltol为误差:max(size(A))∗norm(A)∗epsmax(size(A))*norm(A)*epsmax(size(A))norm(A)eps。函数返回一个与A的转置矩阵A’ 同型的矩阵X,并且满足:AXA=A,XAX=XAXA=A,XAX=XAXA=A,XAX=X.此时,称矩阵X为矩阵A的伪逆,也称为广义逆矩阵。
pinv(A)pinv(A)pinv(A)具有inv(A)inv(A)inv(A)的部分特性,但不与inv(A)inv(A)inv(A)完全等同。
如果A为非奇异方阵,pinv(A)=inv(A)pinv(A)=inv(A)pinv(A)=inv(A),但却会耗费大量的计算时间,相比较而言,inv(A)inv(A)inv(A)花费更少的时间。
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