多元函数与一元函数有一个很大的区别在于定义域的不同：一元函数自变量就在x轴上，因此趋近的方向只有某点的左右两侧，因此，考察一元函数极限的时候，仅考虑左邻域和右邻域即可。但是多变量微分变得复杂，趋向方式是无限种可能的。

比如：二元函数，定义域在一个平面内，趋近方式可以是直线，也可以是曲线。

1.导数

2.微分

3.微分与导数的关系

其实微分就是一个线性映射,导数就是这个线性映射在某个向量基(此处是标准正交基)下的矩阵,而偏导数(或者广义的方向导数)就是这个矩阵的元素！
简单点儿：

就说最简单的一元情况下，导数是一个确定的数值，几何意义是切线斜率，物理意义是瞬时速度。
而微分是一个函数表达式，用于自变量产生微小变化时计算因变量的近似值。

4.偏导

类比于一元函数，也想研究函数的变化率问题，在日常生活中，我们经常遇到这样的问题，一个值和许多元素相关，我们习惯只改变一个变量值，其它变量值固定，看变化的情况。

这个思想就是偏导数：

固定y，让x变化就是对x的偏导数：从图中来看相当于经过A点做平行于xoz的平面，与空间曲面相交得到曲线，做切线，此切线的斜率即此点关于x的偏导。（具体公式去看课本，这里理解思想）

固定x，让y变化就是对y的偏导数：

5.全微分

上面已经研究了分别控制自变量x,y，函数的改变量。那么两个自变量都变化呢，很幸运我们得到如下方式：

可以看到全微分是满足叠加性的，全微分等于由于各自变量改变引起函数值变化之和。

当然，全微分要比存在偏导要求更严格。全微分要求任意路径的切线都要存在且在一个切平面内（参见如何理解全微分），而偏导存在只能证明沿着x轴和y轴方向的切线存在。

6.可微分与偏导数关系

7. 方向导数

方向导数思想很简单，x和y均不固定，但是x和y的变化在一条直线上，此时考察函数的变化。值得注意的是，即使任意方向导数均存在，也不能保证全微存在。因为仅保证了以直线趋近到点A的导数存在。

公式：

为了帮助理解，仍用二元函数，定义域内取一个方向为：

8.方向导数与全微分的关系

9. 梯度向量

梯度可谓是多元函数中一个基本的名词。它的物理意义我们都很清楚或者教材也都会介绍：方向指向数值增长最快的方向，大小为变化率。通过这个性质也说明梯度是有方向和大小的矢量。通过梯度的定义我们发现，梯度的求解其实就是求函数偏导的问题，而我们高中所学的导数在非严格意义上来说也就是一元的“偏导”。通过这一点我们自然而然地想到梯度应该是导数向更高维数的推广。然而一我一直想不明白的是：
梯度是矢量而某点的导数是个常量，两者应该有本质的区别，而导数的正负也反映了函数值的大小变化，而不是一直指向数值增大的方向。
在此我们通过一张图来说明解释一下两者的关系：

其实一元函数肯定也有梯度，我们经常不提及的原因其实很简单：一元函数的梯度方向自变量轴（x）！而导数值的正负号决定了这个方向是正方向还是反方向。如图所示，A点右＂领域＂的导数为正值，则梯度的方向跟x轴正方向一致，梯度方向指向数值增大的方向；相反在B点右＂领域＂，导数为负值，则梯度的方向为x轴的负方向，梯度方向也是指向数值增大的方向。通过这个例子向多维函数推广，梯度从数值小指向数值大的物理意义也就容易理解了。而一元函数的大小自然也就是导数的绝对值。

问题来了，方向向量角度是可以从0-360度的，哪个方向是函数值变化最大的呢？

从数学上来看非常简单，上面已经推导出了内积的形式，那么内积最大的时候，即两者同向的时候，此时得到梯度向量为，

梯度向量是方向导数最大的地方，也就是曲面上最陡峭的方向，在日常生活中梯度向量用的非常多，因为我们经常会遇到找寻下降最快的路径（梯度向量的反方向）等问题，比如下山最省力气的路径。

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