连续段计数问题小记

给定一个长度为 \(n\) 的一个排列，如果区间 \([l,r]\) 之间的数是连续的，那么我们称这个区间时一个连续段。

比如 \([1,3,2,5,4]\) 中的连续段有：\([1,1],[1,3],[1,5],[2,2],[2,3],[2,5],[3,3],[4,4],[4,5],[5,5]\)。

这些连续段有一个共同的特点：区间长度等于值域大小，即 \(\max-\min+1=r-l+1\)。

移项可得：\(\max-\min-r+l=0\)，判断是否为连续段就采用的是这种方法。

有一些题目会询问关于连续段的问题，很多都是数区间个数。数区间个数的问题一般可以分治或固定端点，下边就采用了固定端点的方法，枚举右端点，处理所有左端点的询问。

由于上面我们需要通过维护 \(\max,\min\) 维护每个左端点。前面的 \(\max,\min\) 可以用单调栈维护，整体用线段树记录。

那么我们就来看一些具体问题吧！

CF526F Pudding Monsters

给定长度为 \(n(n\le 3\times 10^5)\) 的排列，求其中连续段数量。

枚举右端点，用单调栈更新左端点，每次询问 \(0\) 的个数。

CF997E Good Subsegments

给定长度为 \(n(n\le 1.2\times 10^5)\) 的排列，有 \(q(q\le 1.2\times 10^5)\) 次询问，每次询问一段区间 \([l,r]\) 内的连续段数量。

好像是上一题的严格加强版捏。

其他和上面一模一样，我们还需要维护历史答案，那就改改线段树吧！

如果直接维护 \(0\) 的个数会比较麻烦，但是题目中有一个重要的性质保证给定的是排列。这表示 \(\max-\min-r+l\) 一定 \(\ge 0\)，只有区间最小值会被减为 \(0\)。那么记下最小值和次数即可。

具体维护以下信息：

• 当前区间最小值 \(valnowmin\)；
• 当前区间最小值个数 \(cntnowmin\)；
• 当前增加值 \(vallaz\)；
• 这个区间有多少次最小值到达了 \(0\) 但子节点里没有计入答案 \(pushed\)；
• 答案数量 \(ans\)。

每移动一次右端点记录给整棵树加一次 \(pushed\) 即可。

P4747 [CERC2017]Intrinsic Interval

咕咕咕ing

P6795 [SNOI2020] 排列

咕咕咕ed