解析

~~所谓左偏树，确实就是往左偏的树~~
它舍弃了平衡的性质，使这个堆在合并时变得极为高效
所以又叫做可并堆
代码实现起来还是很好写的

可以解决的问题

似乎基本上是起一个工具人的作用
出现在题解中“…对于某某信息，维护可并堆即可”这样的地方
不会确实不行呀 qwq

定义：

外结点：左儿子或右儿子是空结点的结点。
距离：一个结点 x 的距离 dist(x)定义为其子树中与结点 x 最近的外结点到 x 的距离。特别地，定义空结点的距离为 -1 。

左偏树的基本性质

左偏树具有堆性质，即若其满足小根堆的性质，则对于每个结点 x 有 $v_x<v_{ls}$ 且 $v_x<v_{rs}$
左偏树具有左偏性质，即对于每个结点 x ,有 $distlc≥distrcdist_{lc}\ge dist_{rc}$

基本结论

结点 x 的距离 $dist_x=dist_{rc}+1$
距离为 n 的左偏树至少有 $2^{n+1}-1$ 个结点。此时该左偏树的形态是一棵满二叉树。
有 n 的结点的左偏树的根节点的距离是 $O(\log_2 n)$

（以上参考自：https://www.luogu.com.cn/blog/hsfzLZH1/solution-p3377）

上面的性质还是比较显然的
下面我们来讲讲具体的操作

操作

合并

左偏树的灵魂
设当前是小根堆，要把x堆与y堆合并
首先，如果x、y有一个为空，直接返回另一个
否则，把值较小的作为根，把根的右儿子与另一个堆合并
递归即可
递归回来的时候还要更新dist并维护左偏的性质
由于左偏树极右链是不超过logn的
因此复杂度为logn
写起来也很好写

int merge(int x,int y){if(!x) return y;else if(!y) return x;if(val[x]>val[y]||(val[x]==val[y]&&id[x]>id[y])) swap(x,y);rs[x]=merge(rs[x],y);if(dis[ls[x]]<dis[rs[x]]) swap(ls[x],rs[x]);dis[x]=dis[rs[x]]+1;return x;
}

访问与删除堆顶元素

把堆顶的左右儿子合并并返回即可

int del(int &x){int res=val[x];x=merge(ls[x],rs[x]);return res;
}

插入元素

把一个元素当成一棵树，与大树合并即可

void insert(int &r,int v){int x=New(v);r=merge(r,x);
}

批量插入

~~直接插入n次nlogn~~
开一个队列，把所有元素建成单点的树push进去
每次从队首提两棵树合并并放到队尾
直至只剩下一棵树
复杂度O(n)

void build(){queue<int>q;for(int i=1;i<=n;i++){q.push(New(a[i]));}for(int i=1;i<n;i++){int u=q.front();q.pop();int v=q.front();q.pop();q.push(merge(u,v));}r=q.front();q.pop();
}

删除已知元素

这是一个左偏树的重要优势
它可以在logn的时间内删除任意位置的已知元素
注意这里的“已知”是指已知编号而不是已知权值
删除指定权值的操作是堆很难做到的 ~~（至少对我的知识储备来说）~~
注意树的性质可能变，所以要一直往上更新

void Del(int x){int f=fa[x];int p=merge(ls[x],rs[x]);fa[p]=f;if(!f){r=p;return;}if(f&&ls[f]==x) ls[f]=p;if(f&&rs[f]==x) rs[f]=p;while(f){if(dis[ls[f]]<dis[rs[f]]) swap(ls[f],rs[f]);if(dis[f]==dis[rs[f]]+1) return;dis[f]=dis[rs[f]]+1;p=f;f=fa[f];}return;
}