任意长度循环卷积单位根反演 学习笔记

今天听 \(\texttt{m}\color{red}{\texttt{yee}}\) 嘴的，赶紧来补个学习笔记。

PS：FFT 本质是长度为 \(2^k\) 的循环卷积。

单位根反演

反演本质：

\[\frac1n\sum_{i=0}^{n-1}\omega_{n}^{ai}=[n|a] \]

证明：

• 如果 \(n|i\)，那么显然可以将 \(a\) 拆为若干个 \(\omega_n^n\)，之后式子只剩下了 \(n\) 个 \(\omega_{n}^{n}\)，那么乘上 \(\frac1n\) 就是 \(1\) 啦。
• 如果 \(n\not|a\)，容易发现 \(\omega_n^{i}\) 还是能够互相抵消，那么等于 \(0\)。

形式：

\[g_k=\sum_{i=0}^{n-1}f_{i}\omega_{n}^{ik}\Leftrightarrow f_k=\frac1n\sum_{i=0}^{n-1}g_i\omega_n^{ik} \]

循环卷积

定义 \(k\) 阶循环卷积为：

\[h_k=\sum_{i+j\equiv k\pmod{n}}f_i\times g_j \]

可以写出二阶循环卷积(不就是异或吗)的转移矩阵：

\[fwt=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}ifwt=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix} \]

\(k\) 阶的转移矩阵是这样的：

\[fwt=\begin{bmatrix}\omega_k^0&\omega_k^0&\omega_k^0&\cdots&\omega_k^0\\\omega_k^0&\omega_k^1&\omega_k^2&\cdots&\omega_k^{k-1}\\\omega_k^0&\omega_k^2&\omega_k^4&\cdots&\omega_k^{2k-2}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\omega_k^0&\omega_k^{k-1}&\omega_k^{2k-1}&\cdots&\omega_k^{k^2-2k+1}\end{bmatrix}ifwt=\begin{bmatrix}\omega_k^{-0}&\omega_k^{-0}&\omega_k^{-0}&\cdots&\omega_k^{-0}\\\omega_k^{-0}&\omega_k^{-1}&\omega_k^{-2}&\cdots&\omega_k^{-k+1}\\\omega_k^{-0}&\omega_k^{-2}&\omega_k^{-4}&\cdots&\omega_k^{-2k+2}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\omega_k^{-0}&\omega_k^{-k+1}&\omega_k^{-2k+1}&\cdots&\omega_k^{-k^2+2k-1}\end{bmatrix} \]

这样可以 \(\mathcal{O(k^2)}\) 地完成 fwt 变换(但板题 任意模数 Chirp Z-Transform 需要用 FFT 优化加速)，\(\mathcal{O(k)}\) 地点乘。

PS：如果需要将对应系数相加，可以在 fwt 后直接相加减，因为这是个线性变换。

咕咕咕

P4191 [CTSC2010]性能优化