CF512D Fox And Travelling（DP 计数）

CF512D Fox And Travelling

给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，每次选择一个叶子结点并将它和连接它的边删除。

对于每个 \(k\in[0,n]\)，问有序选择 \(k\) 个点的方案数。

\(n\le 100\)。

显然如果有环，那么所有环上的点都无法被选择，可以选择的只是一棵棵树。

按照是否有环，可以将所有树分为两类，求出每一棵树的答案，再背包乘起来：

• 一棵单独的树，可以被取完，从各个方向都可以选择，直接背包计算即可。
• 树根连在“环”上，只可以从儿子向上取。
  • \(\color{yellow}{\bigstar\texttt{Trick}}\)：按照上面的方法，将每个点当做根节点做一遍。设树的大小为 \(n\)，发现每种选择 \(k\) 个点的情况都会在 \(n-k\) 个点中计算一遍，那么答案除 \(n-k\) 即可。

将长度为 \(l_1,l_2\) 的序列合并起来的方案数为 \(\binom{l_1+l_2}{l_1}\)，那么直接用背包合并即可。

#define Maxn 105
#define Maxm 10005
#define mod 1000000009
int n,m,tot,cnt;
int C[Maxn][Maxn],ind[Maxn];
int hea[Maxn],nex[Maxm<<1],ver[Maxm<<1];
bool Covered[Maxn];
vector<int> g[Maxn];
inline void add(int x,int y){ ver[++tot]=y,nex[tot]=hea[x],hea[x]=tot; }
inline ll ksm(ll x,ll y=mod-2)
{ll ret=1;for(;y;y>>=1,x=x*x%mod) if(y&1) ret=ret*x%mod;return ret;
}
struct TREE
{int opt,rt,sall,siz[Maxn];ll dp[Maxn],tmp[Maxn][Maxn];void dfs(int x,int fa){tmp[x][0]=1,siz[x]=0;for(int v:g[x]) if(v!=fa){dfs(v,x);for(int su=siz[x];su>=0;su--) for(int sv=1;sv<=siz[v];sv++)(tmp[x][su+sv]+=tmp[x][su]*tmp[v][sv]%mod*C[su+sv][sv]%mod)%=mod;siz[x]+=siz[v];}(tmp[x][siz[x]+1]+=tmp[x][siz[x]])%=mod;siz[x]++;}inline void ADD(int x){memset(tmp,0,sizeof(tmp)),dfs(x,0);for(int i=0;i<=sall;i++) (dp[i]+=tmp[x][i])%=mod;}void Find(int x,int fa) { ADD(x); for(int v:g[x]) if(v!=fa) Find(v,x); }void Count(int x,int fa) { sall++; for(int v:g[x]) if(v!=fa) Count(v,x); }void solve(){Count(rt,0);if(opt==0) { Find(rt,0); for(int i=0;i<sall;i++) dp[i]=dp[i]*ksm(sall-i)%mod; }else ADD(rt);}
}subtree[Maxn];
ll ans[Maxn];
int main()
{C[0][0]=1;for(int i=1;i<=100;i++){C[i][0]=1;for(int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;}n=rd(),m=rd();for(int i=1,u,v;i<=m;i++)u=rd(),v=rd(),add(u,v),add(v,u),ind[u]++,ind[v]++;queue<int> q;for(int i=1;i<=n;i++) if(ind[i]<=1) q.push(i);while(!q.empty()){int cur=q.front(); q.pop();bool exist=false;Covered[cur]=true;for(int i=hea[cur];i;i=nex[i]){if(Covered[ver[i]]) g[cur].pb(ver[i]),g[ver[i]].pb(cur);else{exist=true,ind[ver[i]]--;if(ind[ver[i]]==1) q.push(ver[i]);}}if(!exist) cnt++,subtree[cnt].opt=0,subtree[cnt].rt=cur;}for(int i=1;i<=n;i++) if(!Covered[i])for(int j=hea[i];j;j=nex[j]) if(Covered[ver[j]])cnt++,subtree[cnt].opt=1,subtree[cnt].rt=ver[j];for(int i=1;i<=cnt;i++) subtree[i].solve();ans[0]=1;for(int i=1,pre=0;i<=cnt;i++){for(int su=pre;su>=0;su--) for(int sv=1;sv<=subtree[i].sall;sv++)(ans[su+sv]+=ans[su]*subtree[i].dp[sv]%mod*C[su+sv][su]%mod)%=mod;pre+=subtree[i].sall;}for(int i=0;i<=n;i++) printf("%lld\n",ans[i]);return 0;
}