一文总结通信电路中LC谐振回路中各公式以及对深入解读品质因数Q

前言

一、基本公式总结

1.并联谐振回路

2.串联谐振回路

二、浅谈品质因数

1.衡量谐振回路能量存储与能量损耗之比的无量纲参数，用于描述谐振电路的频率选择性

2.当受到振荡驱动力时，谐振腔的中心频率与其带宽的比值

3.为什么谐振时电容上的电压等于信号源电压乘以品质因数Q

总结

前言

本文主要解决的问题是有关RLC谐振回路中有关品质因数Q的各个公式的由来，文中包含了对三个公式的总结以及推导，并且对串并联电路都做了一定的总结和梳理

一、基本公式总结

1.并联谐振回路

当（ $\omega L \gg r$ ）时， $Y_L \approx \frac{r}{(\omega L)^2} - j(\omega C - \frac{1}{\omega L})$

当电路谐振时（ $\omega C = \frac{1}{\omega L}$ ）， $Y_L = \frac{r}{(\omega L)^2}$ 为纯电导， $R_0 = \frac{(\omega L)^2}{r}$

并联谐振回路品质因数 $Q =\frac{\omega_0 L}{r}=\frac{1}{r\omega_0C}= \frac{\omega_0 L}{R}=\frac{1}{R\omega_0C}$

2.串联谐振回路

$Z = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)$

$\phi = \arctan\left(\frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R}\right)$

二、浅谈品质因数

1.衡量谐振回路能量存储与能量损耗之比的无量纲参数，用于描述谐振电路的频率选择性

并联谐振回路中： $Q = \frac{W_L+W_C}{W_R} = R\sqrt{\frac{C}{L}}=\frac{R}{\omega_0 L}=R\omega_0C$

其中 $R$ 是并联电阻，可由 $r$ 等效而来： $R_0 = \frac{(\omega L)^2}{r}$

所以还可以表示为： $Q =\frac{\omega_0 L}{r}=\frac{1}{r\omega_0C}$

串联联谐振回路中： $Q = \frac{W_L+W_C}{W_R} = \frac{\omega_0 L}{R}=\frac{1}{R\omega_0C}$

由此可以看出串联和并联谐振的 Q 公式形式相同（ $Q =\frac{\omega_0 L}{R_x}$ ），但物理意义不同。但可以理解为 $R_x$ 是与电感串联的电路。而在并联回路中，由于一般电阻都已并联的形式展现，所以会将与电感串联的 $r$ 等效到并联呈现。

2.当受到振荡驱动力时，谐振腔的中心频率与其带宽的比值

$Q =\frac{f_0}{BW}$

具体推导如下：

LC并联谐振的阻抗为： $Z(\omega)= \frac{R}{1 + j (\frac{\omega C-\frac{1}{\omega L}}{G} )} =\frac{R}{1 + j Q (\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega})}$

当失谐量 $\Delta \omega = \omega-\omega_0$ 非常小时： $Z(\omega)= \frac{R}{1 + j Q (\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega})} \approx \frac{R}{1 + j Q \frac{2\Delta \omega}{\omega_0}}$

所以在谐振频率附近（ $\omega\approx\omega_0$ ），阻抗表达式可线性化为： $|Z(\omega)| \approx \frac{R}{\sqrt{1 + \left(2Q \frac{\Delta \omega}{\omega_0}\right)^2}}$

阻抗的相位可以表示为： $\phi_z = -\arctan\left(R\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)\right)=\frac{\omega C-\frac{1}{\omega L}}{G}$

通过阻抗的表达式我们可以得到幅频特性方程：

$U =I_s \cdot Z_p = \frac{I_s \cdot R}{\sqrt{1 + Q^2\left(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega}\right)^2}}\approx \frac{U_0}{\sqrt{1 + \left(2Q \frac{\Delta \omega}{\omega_0}\right)^2}}$

$\alpha=\frac{U}{U_0} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2\left(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega}\right)^2}}\approx \frac{1}{\sqrt{1 + \left(2Q \frac{\Delta \omega}{\omega_0}\right)^2}}$

知道幅频特性方程后就能试着去表示通频带：

当 $\alpha=\frac{U}{U_0} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(2Q \frac{\Delta f}{f_0}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时： $Q \frac{\Delta f}{f_0}=\pm 1$

可以解得： $Q \frac{2(f_2-f_1)}{f_0}=2$

$BW=f_2-f_1= \frac{f_0}{Q}$

3.为什么谐振时电容上的电压等于信号源电压乘以品质因数Q

串联RLC谐振电路的阻抗为： $Z = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)$

谐振时（ $\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}$ ）：

感抗和容抗抵消： $\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}$
阻抗最小且为纯电阻： $\quad Z = R$
电流达到最大值： $\quad I_{\text{max}} = \frac{V_{\text{in}}}{R}$

电容电压 $V_C$ 为电流 $I$ 乘以容抗 $\frac{1}{\omega C}$ ： $V_C = I \cdot \frac{1}{\omega C}$

谐振时： $V_C =I_{\text{max}}\cdot \frac{1}{\omega_0 C}= \frac{V_{\text{in}}}{R} \cdot \frac{1}{\omega_0 C} = V_{\text{in} }\cdot Q$

总结

对通信电路第一章的基本概念做了梳理与总结，在博客里准备公式和图真的是一件花费时间的事情，本来还想把前几张的内容都梳理一遍，但是今天写博客的时候感觉还是太花时间了。这篇博客主要还是针对我在做第一章的题目时碰到的一些关于品质因数公式的问题，梳理一遍后对关于Q的每一个公式的由来都清楚了很多，希望对大家也有帮助。

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