正题

题目链接:https://atcoder.jp/contests/arc115/tasks/arc115_d

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题目大意

给出$n$个点$m$条边的一张无向图，对于每个$k\in [1,n]$ 求恰好有$k$个奇数入度点的生成子图数量。

$1\le n,m\le 5000$

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解题思路

考虑有$k$个奇入度点的图有什么性质，既然是入度的奇偶性可以从欧拉回路入手。新建一个点，向一张有$k$个入度为奇数的点的图上的$k$个点连边，那么有且仅有一个方案使得图存在欧拉回路。

所以我们可以先随便向图上的$k$个点连边，然后再找图上存在欧拉回路的图的数量。至于怎么寻找存在欧拉回路的图的数量，首先我们搞出一棵图的生成树，显然树上不存在欧拉回路，而所有的环（也就是存在欧拉回路的图）都可以由每条树边构成的环选出若干个将重复的部分取反得到。

所以$n$个点$m$条边的连通图的欧拉回路数量就是$2^{m-n+1}$，如果而我们提前连接了$k$条边的点必须选择，所以这些边不会增加欧拉回路的数量，所以答案就是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\times 2^{m-n+1}$。

然后会发现还是有点问题，因为图没有保障连通，那么设$f_i$表示目前连接了$i$条新边的方案，然后每个连通块暴力转移就好了。

时间复杂度：$O(n^2)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5100,P=998244353;
struct node{ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,m,sun,sum,tot,ls[N],C[N][N],pw[N<<1],f[N];
bool v[N];
void addl(ll x,ll y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return;
}
void dfs(ll x){v[x]=1;sun++;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){sum++;if(!v[a[i].to])dfs(a[i].to);}return;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1,x,y;i<=m;i++){scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}C[0][0]=pw[0]=1;for(ll i=1;i<N*2;i++)pw[i]=pw[i-1]*2ll%P;for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=0;j<=i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j]+(j?C[i-1][j-1]:0))%P;f[0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++)if(!v[i]){sum=sun=0;dfs(i);sum/=2;for(ll j=n;j>=0;j--){if(j&1)continue;f[j]=f[j]*pw[sum-sun+1]%P;for(ll k=2;k<=min(sun,j);k+=2)(f[j]+=f[j-k]*pw[sum-sun+1]%P*C[sun][k]%P)%=P;}}for(ll i=0;i<=n;i++)printf("%lld\n",f[i]);return 0;
}