P1989 无向图三元环计数 思维 + 建图

传送门

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  • 题意:
  • 思路:

题意:

统计无向图中三元环的个数。

思路:

很明显有一种暴力的方法,就是枚举每条边,让后再跑两个点的所有边,可以卡到复杂度O(m2)O(m^2)O(m2)
我们可以考虑给点之间建立一个优先级,假设deg(u)<deg(v)deg(u)<deg(v)deg(u)<deg(v),那么说明uuu的优先级高于vvv的优先级,我们就连一个u−>vu->vu>v的边,将原图转换成新图,由于优先级的存在,所以新图是个DAG图。
这样就可以得到一个算法,对于一个点vvv,遍历一遍,让后将能到的点uuu标记成vvv,再遍历uuu的出边,O(1)O(1)O(1)判断能到的点是否能到vvv即可。
可是这样看起来,复杂度还是很大啊?其实复杂度是O(mm)O(m\sqrt m)O(mm)
考虑对于每条边u−>vu->vu>v,他对复杂度造成的贡献为outvout_voutv,所以总的复杂度为∑i=1moutv\sum _{i=1}^m out_vi=1moutv,下面证明outv≤mout_v\le \sqrt moutvm
(1)(1)(1)对于原图中degu≤mdeg_u\le \sqrt mdegum,新图中degudeg_udegu显然不会大于m\sqrt mm
(2)(2)(2)对于原图中degu>mdeg_u> \sqrt mdegu>m,由于所有点的度是mmm级别的,所以原图中degv>mdeg_v>\sqrt mdegv>m的点不超过m\sqrt mm个,uuu只能向degv>mdeg_v>\sqrt mdegv>m点连边,所以outu≤mout_u\le \sqrt moutum

所以总体复杂度为O(mm)O(m\sqrt m)O(mm)

//#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")
//#pragma GCC optimize(2)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#define X first
#define Y second
#define L (u<<1)
#define R (u<<1|1)
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define Mid (tr[u].l+tr[u].r>>1)
#define Len(u) (tr[u].r-tr[u].l+1)
#define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1))
#define db puts("---")
using namespace std;//void rd_cre() { freopen("d://dp//data.txt","w",stdout); srand(time(NULL)); }
//void rd_ac() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//AC.txt","w",stdout); }
//void rd_wa() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//WA.txt","w",stdout); }typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;const int N=1000010,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-6;int n,m;
int d[N],st[N];
int a[N],b[N];
vector<int>v[N];int main()
{
//	ios::sync_with_stdio(false);
//	cin.tie(0);	scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++) {scanf("%d%d",a+i,b+i);d[a[i]]++; d[b[i]]++;}for(int i=1;i<=m;i++) {if(d[a[i]]>d[b[i]]) swap(a[i],b[i]); else if(d[a[i]]==d[b[i]]&&a[i]>b[i]) swap(a[i],b[i]);v[a[i]].pb(b[i]);}int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++) {for(auto x:v[i]) st[x]=i;for(auto x:v[i]) {for(auto z:v[x]) {if(st[z]==i) ans++;}}}printf("%d\n",ans);return 0;
}
/**/

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