引入

BM算法主要解决的是根据数列求最短线性齐次递推式的问题在OI中主要辅助打表使用

即：已知$F$，求序列$A$使得

$$F_n=\sum _{i=1}^m{A}_i{F}_{n-i}(n>m)$$

其中$m$尽量小

算法流程

文中的所有序列下标均从$1$开始，并且为了方便规定$0$和负下标值均为$0$

该算法采用增量法，即我们求前$n$项的递推式，假设已经求出了前$n-1$项的递推式，我们记为$A$,考虑计算加上第$n$项后的递推式$A^{\prime }$

设$A$的长度为$m$，也就是

$$m<k<n,F_k=\sum _{i=1}^m{A}_i{F}_{k-i}$$

我们用现在不知道对不对的递推式，也就是上一个递推式$A$，算出$F_n$不知道对不对的值，记为$F_n^{\prime }$,也就是

$$F_n^{\prime }=\sum _{i=1}^m{A}_i{F}_{n-i}$$

如果$F_n=F_n^{\prime }$,那么这个递推式暂时没有问题，继续往后，即$A^{\prime }=A$

否则我们把这一位差了多少算出来，即

$${\Delta }_n=F_n-F_n^{\prime }$$

注意有可能是负数

现在我们需要修正当前的递推式$A$

仔细观察这个递推式

$$\begin{gathered} k<n,\sum _{i=1}^m{A}_i{F}_{k-i}=F_k \\ \sum _{i=1}^m{A}_i{F}_{n-i}=F_n-{\Delta }_n \end{gathered}$$

和我们希望得到的递推式，这里设它长度为$m^{\prime }$,显然有$m^{\prime }\ge m$

$$\begin{gathered} k<n,\sum _{i=1}^{m^{\prime }}{A}_i^{\prime }{F}_{k-i}=F_k \\ \sum _{i=1}^{m^{\prime }}{A}_i^{\prime }{F}_{n-i}=F_n \end{gathered}$$

我们可以考虑给$A$加上一个递推式$D$得到$A^{\prime }$，容易知道它满足

$$\begin{gathered} k<n,\sum _{i=1}^{m^{\prime }}{D}_i{F}_{k-i}=0 \\ \sum _{i=1}^{m^{\prime }}{D}_i{F}_{n-i}={\Delta }_n \end{gathered}$$

现在尝试构造一个$D$

我们找到之前的一个匹配失败的递推式$R$，设它失败的位置为$p$,当时这个位置的差为${\Delta }_p$。为了避免标识太多看晕，我们还是把$R$的长度设为$m$，之后的$m$都是指$R$的长度

即

$$\begin{gathered} k<p,\sum _{i=1}^m{R}_i{F}_{k-i}=F_k \\ \sum _{i=1}^m{R}_i{F}_{p-i}=F_k-{\Delta }_p \end{gathered}$$

重新理一下这个式子的含义：

对当前位置$k<p$,我们从$k$往前面找$m$个数和$R$卷一下，然后用$F_k$去减，都得到了$0$

唯独$p$不同，我们减出来得到了${\Delta }_p$

发现这个跟$D$神似

所以我们考虑这么构造$D$:

开始先放$n-p-1$个$0$进去，表示卷积的位置向左平移$n-p-1$位,实际上开始与$D_1$对应相乘的位置是$k-n+p$，之后$D_2,D_3,\dots ,D_m$的对应相乘位置不断向左挪

这时我们发现$n$恰好对应到了$p$,也就是$R$中唯一减出来不为$0$的位置

所以考虑构造这个减法 设$x=\frac{{\Delta }_n}{\Delta p}$

在$n-p$的位置放一个$x$

然后把$R$的每一位取$-x$倍接在后面

这样不考虑$x$的话，$n$对应的卷出来是$F_p$减去用$R$算出来的$F_p^{\prime }$,即${\Delta }_p$,乘上$x$得到${\Delta }_n$。其他位置因为$F_k=F_k^{\prime }$，所以卷出来是$0$。

也就是

D={0,0,…,0⏟n-p-1个0,x,−xR1,−xR2,…,−xRn}D=\{ \underbrace{0,0,\dots,0}_\text{n-p-1个0},x,-xR_1,-xR_2,\dots,-xR_n \}D={n-p-1个00,0,…,0​​,x,−xR1​,−xR2​,…,−xRn​}

可(bu)以(yong)证明，选取最近的$R$一定是最优的

把$A$加上$D$就可以得到$A^{\prime }$

复杂度$O(n^2)$

模板题

道理我都懂，为啥好好的BM模板要加个线性递推

注：此代码只有BM部分

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#define MAXN 10005
using namespace std;
inline int read()
{int ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans;
}
const int MOD=998244353;
inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=MOD? x+y-MOD:x+y;}
inline int dec(const int& x,const int& y){return x<y? x-y+MOD:x-y;}
typedef long long ll;
inline int qpow(int a,int p)
{int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD;p>>=1;}return ans;
}
int F[MAXN],R[MAXN];
int las[MAXN],tmp[MAXN],p,delta;
int main()
{int n,m;n=read(),m=read();for (int i=1;i<=n;i++) F[i]=read();for (int i=1;i<=n;i++){int res=0;for (int j=1;j<=R[0];j++) res=add(res,(ll)R[j]*F[i-j]%MOD);if (res==F[i]) continue;if (!R[0]){p=i;delta=F[i];R[0]=i;continue;}memcpy(tmp,R,sizeof(tmp));int x=(ll)dec(F[i],res)*qpow(delta,MOD-2)%MOD;R[i-p]=add(R[i-p],x);for (int j=1;j<=las[0];j++) R[i-p+j]=dec(R[i-p+j],(ll)x*las[j]%MOD);R[0]=i+las[0]-p;memcpy(las,tmp,sizeof(las));p=i,delta=dec(F[i],res);}for (int i=1;i<=R[0];i++) printf("%d%c",R[i]," \n"[i==R[0]]);return 0;
}