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Cramer分解定理（1961年提出）

差分

R语言函数 diff

例题：

过差分：

小结

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Cramer分解定理（1961年提出）

任何一个时间序列 都可以分解为两部分的叠加:其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成分，另一部分是平稳的零均值误差成分，即

Box和Jenkins用大量的案例分析证明了差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法
而Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息
就有：

其中确定性部分看成常数c：

为什么确定性部分可以看成常数呢？看下面！！

举例如：

它的一阶差分为：

二阶差分为：

从二次差分以后的差分值都为2，所以确定性部分可以看成一个常数。

差分是什么哇？接下来我们就介绍一下差分

差分

差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息

 则可写成：

差分方式的选择：

1. 序列蕴含显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳
2. 序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响
3. 对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息

R语言函数 diff

1阶差分  diff(x)

2阶差分  diff(x,1,2)

k阶差分  diff(x,1,k)

d步差分  diff(x,d,1) 或 diff(x,d)

一阶差分后再进行d步差分 diff(diff(x),d)

例题：

例5.1 1964年-—1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算，考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用
 

a<-read.table("D:/桌面/5_1.csv",sep=',',header=T)
a
x<-ts(a$output,start=1949) 
plot(x)  #plot(x,type='o') #绘制时序图
difx<-diff(x)  #1阶差分
plot(difx) #对1阶差分绘制时序图

返回：

如图，还具有趋势，需要二阶差分

difx2<-diff(x,1,2)
plot(difx2)

返回：

过差分：

理论上，足够次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳序列的确定性信息。
但应当注意的是，差分运算的阶数并不是越多越好。因为差分计算是一种对信息的提取、加工过程，每次差分都会有信息的损失
在实际应用中差分运算的阶数得适当，应当避免过度差分的使用

举例：

假设序列：

接下来考察一阶差分和二阶差分后序列的平稳性与方差

一阶差分：平稳

二阶差分：平稳

虽然二阶差分也是平稳的，但其方差要比一阶差分的大，所以二阶差分就是过差分

小结

• 差分提取确定性信息：

• R语言中差分运算diff函数