目录

1.分类

2.简单指数平滑

简单指数平滑预测：

平滑系数的确定

R中实现：

3. Holt两参数指数平滑

4. Holt-Winters三参数指数平滑

5.ARIMA加法季节模型

R实现

 例题：

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1.分类

2.简单指数平滑

简单移动平均法向前预测1期：

缺点:历史信息的权重都为1/n

简单指数平滑预测：

还可写成：

其均值为：

平滑系数的确定

• 一般对于变化缓慢的序列，α常取较小的值
• 对于变化迅速的序列，α常取较大的值
• 经验表明α介于0.05至0.3之间，修匀效果比较好。

例1对某一观察值序列{},使用简单指数平滑法。已知=10，= 10.5，平滑系数=0.25。
        (1）求向前预测2期的预测值.
        (2）在2期预测值中，前面的系数等于多少。

        理论上可以证明简单指数平滑法任意期的预测值都为常数，所以简单指数平滑只适合做1期预测，是常用的平稳序列预测方法,且1期预测以后的值都与1期预测一样，所以只适合短期预测。

R中实现：

例6-4根据1949-1998年北京市每年最高气温序列，采用指数平滑法预测1999-2018年北京市每年最高气温。

a<-read.table('D:/桌面/6_4.csv',,sep=',',header=T) #读取数据
x<-ts(a$temp,start=1949)
plot(x) #时序图

返回：

进行简单指数平滑：

fit<-HoltWinters(x,beta=F,gamma=F)
fit

返回：

基于简单指数平滑模型进行5期预测：

library(forecast)
fore1<-forecast(fit,h=5)
fore1

返回：

绘制预测效果图：

plot(fore1,lty=2)
lines(fore1$fitted,col='red')

返回：

3. Holt两参数指数平滑

使用场合：含有线性趋势的序列进行修匀

模型结构：

两参数修匀：

k期预测：

4. Holt-Winters三参数指数平滑

水平部分，趋势部分，季节因子(周期m)，c(t)是t时刻季节指数的无偏估计值 

Holt两参数指数平滑:

加法模型：

乘法模型：

k期预测：

两参数预测：

三参数预测：

假设t+k期为季节周期的第j期

例6-1（续)）对1981-1990年澳大利亚政府季度消费支出序列进行Holt-Winters三参数指数平滑进行8期预测。

a<-read.table('D:/桌面/6_1.csv',,sep=',',header=T) #读取数据
x<-ts(a$x,start=c(1981,1),frequency=4)
plot(x) #时序图

进行三参数指数平滑：

fit<-HoltWinters(x)
fit

返回：

8期预测：

library(forecast)
fore<-forecast(fit,h=8)
fore

返回：

绘制预测结果：

plot(fore)
lines(fore$fitted,col='red')

返回：

5.ARIMA加法季节模型

季节效应和其它效应之间是加法关系

通过简单的趋势差分、季节差分之后转化为平稳，模型结构通常如下

R实现

在上节的ARIMA函数的基础上多了个参数 seasonal(季节)

 例题：

1、我国1949—2008年每年铁路货运量（单位：万吨）数据如习题5-2.csv所示。请选择适当模型拟合该序列，并预测2009—2013年我国铁路货运量。

a<-read.table('D:/桌面/习题5-2.csv',sep=',',header=T) #读取数据
x<-ts(a$transport,start=1949)
plot(x) #时序图

返回：

由时序图得，该序列有明显趋势，所以为非平稳序列，要对其进行1阶差分：

diff1<-diff(x)
diff1

返回：

对1阶差分绘制时序图：

plot(diff1)

返回;

 由时序图可得，差分后序列的值基本围绕在0附近，已经没有明显的趋势特征

平稳性检验：

# ADF检验
library(aTSA) #aTSA导入程序包
adf.test(diff1) #平稳性检验

返回：

检验结果显示，该序列所有 ADF 检验统计量的 P 值均小于显著性水平（α=0.05），所以可以确定 1 阶差分后系列实现了平稳。

纯随机性检验：
for(i in 1:2)print( Box.test(x,type='Ljung-Box',lag=6*i)) #延迟6到12期的检验

返回：

        Box-Ljung test

data:  x

X-squared = 209.55, df = 6, p-value < 2.2e-16

        Box-Ljung test

data:  x

X-squared = 292.47, df = 12, p-value < 2.2e-16

根据随机性检验结果显示 6 阶和 12 阶延迟的统计量的 P 值都小于显著性水平（α=0.05）， 所以可以判断该系列为平稳非白噪声序列

自相关系数和偏自相关系数：

acf(diff1,main='自相关图') #绘制自相关图
pacf(diff1,main='偏自相关图') #绘制偏自相关图

返回：

        由自相关图和偏自相关图显示，该序列具有自相关图拖尾、偏自相关图1阶截尾的特征，故尝试使用 AR (1)模型拟合 1 阶差分后序列，又因为前面进行了1阶差分，所以可以用ARIMA(1,1,0)进行拟合。

ARIMA(1,1,0) 模型拟合：

fit1<-arima(x,order=c(1,1,0))
fit1

返回：

Call:

arima(x = x, order = c(1, 1, 0))

Coefficients:

         ar1

        0.6589

s.e.     0.0985

sigma^2 estimated as 58008959:  log likelihood = -611.35,  aic = 1226.69

则可得模型解析式为：

模型检验：

 ts.diag(fit1)

返回：

由图可知，拟合模型效果很好。

进行预测：

library(forecast) #导入库
fore1<-forecast::forecast(fit1,h=5) 
fore1
plot(fore1) 
lines(fore1$fitted,col=4) 

返回：

预测结果：

对预测结果绘制时序图：

2、1867—1938年英国（英格兰及威尔士）绵羊数量如习题5-5.csv所示。

（1）确定该序列的平稳性；

（2）选择适当模型拟合该序列的发展；

（3）利用拟合模型预测1939—1945年英国绵羊的数量。

b<-read.table('D:/桌面/习题5-5.csv',sep=',',header=T) #读取数据
y<-ts(b$sheep,start=1867)
plot(y) #时序图

  由时序图得，该序列有明显趋势，所以为非平稳序列

对其进行1阶差分：

diff2<-diff(y)
plot(diff2) #对1阶差分绘制时序图

由时序图可得，差分后序列的值基本围绕在0附近，已经没有明显的趋势特征

平稳性检验：

library(aTSA) #aTSA导入程序包
adf.test(diff2) #平稳性检验

检验结果显示，该序列所有 ADF 检验统计量的 P 值均小于显著性水平（α=0.05），所以可以确定 1 阶差分后系列实现了平稳。

纯随机性检验：

for(i in 1:2)print( Box.test(y,type='Ljung-Box',lag=6*i)) #延迟6到12期的检验

返回：

        Box-Ljung test

data:  y

X-squared = 210.63, df = 6, p-value < 2.2e-16

        Box-Ljung test

data:  y

X-squared = 265.32, df = 12, p-value < 2.2e-16

根据随机性检验结果显示 6 阶和 12 阶延迟的统计量的 P 值都小于显著性水平（α=0.05）， 所以可以判断该系列为平稳非白噪声序列

自相关系数和偏自相关系数：

acf(diff2,main='自相关图') #绘制自相关图
pacf(diff2,main='偏自相关图') #绘制偏自相关图

由自相关图和偏自相关图显示，该序列具有自相关图拖尾、偏自相关图3阶截尾的特征，故尝试使用 AR(3)模型拟合 1 阶差分后序列，考虑到前面已经进行的 1 阶差分运算，所以可以用ARIMA(3,1,0)进行拟合。

ARIMA(3,1,0) 模型拟合：

fit2<-arima(y,order=c(3,1,0))
fit2

返回：

则可得模型解析式为：

模型检验：

ts.diag(fit2)

由图可知，拟合模型效果很好。

进行预测：

library(forecast) #导入库
fore2<-forecast::forecast(fit2,h=9)
fore2
plot(fore2)
lines(fore2$fitted,col=4)

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