一小部分矩阵论的整理复习，这个由于公式输入的太麻烦了，所以就弄了一点。后面直接看着书复习的。

线性空间

设F是一数域，V是一非空集合，如果对于任意两个元素a、b属于V，总有唯一的一个元素c属于V与之对应，称c为a与b的和，记为c=a+b。

又对于任一数k属于F及任一元素a属于 V，有唯一的一个元素b属于V与之对应，称b为k与a的数乘，记为b=ka。

上述情况称V对加法和数乘运算封闭。

并且这两种运算满足以下8条规则：(设a、b、c属于V；k、l属于F)

a+b=b+a

(a+b)+c=a+(b+c)

a+o=a (假定o是零元素)

a+(-a)=o

1a=a

k(la)=(kl)a

k(a+b)=ka+kb

(k+l)a=ka+la

那么称V为数域F上的线性空间，记为V(F)。

基与维数

线性空间V(F)中的向量组x1、x2……xn称为V(F)的基或基向量组，如果它满足：

1.x1、x2……xn线性无关

2.V(F)中任意向量皆可写成x1、x2……xn的线性组合。

V(F)的维数：基向量组里面向量的个数n，称为dimV(F)=n。也称为n维向量空间。

例子：设正实数集
R+={a∣a>0,a∈R}R^{+}=\{a|a>0,a\in R \} R+={a∣a>0,a∈R}
定义加法与数乘运算分别为：
$$\begin{gathered} a+b=ab,\forall a,b\in R^{+} \\ ka=a^k,k\in R \end{gathered}$$
证明R+是实数域R上的线性空间，并求R+的基和维数。

1.R+在如此定义的加法与数乘运算保持封闭，再验证运算满足8条规则：

任意a、b、c属于R+，任意k、l属于R：

a+b=ab=ba=b+a

(a+b)+c=ab+c=abc=a+bc=a+(b+c)

a+1=a，1为R+的零元素。

a+1/a=1，1/a为R+的负元素。

1a=a^1=a

后面三条也满足

k(la)=(kl)a

k(a+b)=ka+kb

(k+l)a=ka+la

所以可见R+构成实数域R上的线性空间。

现在求R+的基和维数。

由a+1=a，知1为R+的零元素。
$$\begin{gathered} \forall a\ne 1,a\in R^{+},\forall b\in R^{+} \\ b=a^{lo{g}_{a}b}=(lo{g}_{a}b)a \end{gathered}$$
说明任一元素b均可表成非零元素a的线性组合，任何非零元素a均为R+的基，dimR+=1

基变换公式、过渡矩阵、坐标变换公式

设：
$$\begin{gathered} {\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n \\ {\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_n \end{gathered}$$
是线性空间两个基，且：
$$\begin{gathered} {\beta }_1=p_{11}{\alpha }_1+p_{21}{\alpha }_2+...+p_{n1}{\alpha }_n \\ {\beta }_2=p_{12}{\alpha }_1+p_{22}{\alpha }_2+...+p_{n2}{\alpha }_n \\ \dots \dots \dots \dots \\ {\beta }_n=p_{1n}{\alpha }_1+p_{2n}{\alpha }_2+...+p_{nn}{\alpha }_n \\ \text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$
可以表示成：
$$({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ，{\beta }_n)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ，{\alpha }_n)P\text{\hspace{1em}(2)}$$

$$P=(P_{ij}{)}_{n\times n}=\left[\begin{array}{cccc}{p}_{11}& p_{12}& ...& p_{1n}\\ p_{21}& p_{22}& ...& p_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ p_{n1}& p_{n2}& ...& p_{nn}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$

上式1中系数pij横排竖放构成P，如式3。

式2为基变换公式。

P为由基α到基β的过渡矩阵。

坐标变换公式：x1…xn是元素r在基α下的坐标，y1…yn是元素r在基β下的坐标

$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=P\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]=P^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$$

线性子空间

设V1是数域F上的线性空间V的一个非空子集，且对V中线性运算满足：
$$\begin{gathered} \forall \alpha ,\beta \in V_1,有\alpha +\beta \in V_1 \\ \forall \alpha \in V_1，\forall k\in F，有k\alpha \in V_1 \end{gathered}$$
称V1为V的线性子空间。
$$dim{V}_1\le dimV$$

齐次方程组的解空间

n元齐次线性方程组Ax=0接的集合构成线性空间，称为解空间，记为N(A)，他是Rn的子空间，若rankA=r，dimN(A)=n-r。

特征子空间

设A属于Rn*n，Av=λv,A的属于特征值λ的 所有特征向量加上零向量构成Rn的子空间，称为特征子空间。

生成子空间

V(F)的一组向量：
$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ，{\alpha }_m$$
令：
$$\begin{gathered} V_1=k_1{\alpha }_1+...+k_i{\alpha }_i+...+k_m{\alpha }_m \\ k\in F,i=1,2,...,m \end{gathered}$$
V1表示由
$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ，{\alpha }_m$$
生成子空间。

记为：
$$V_1=span({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ，{\alpha }_m)$$
注：这里没有要求α1到αm线性无关。

生成子空间的维数等于向量组的秩。
$$dimspan({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ，{\alpha }_m)=rank({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ，{\alpha }_m)$$

交空间

设V1，V2是V(F)的两个子空间，称：
$$V_1\cap V_2=\alpha ，\alpha \in V_1,\alpha \in V_2$$
为V1,V2的交空间。子空间的交空间仍是子空间。

和空间

设V1，V2是V(F)的两个子空间，称：
$$V_1+V_2=\alpha ，\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_1\in V_1,{\alpha }_2\in V_2$$
为V1,V2的和空间。子空间的和空间仍是子空间。

维数定理

设V1,V2是V(F)的两个子空间
$$dim{V}_1+dim{V}_2=dim(V_1+V_2)+dim(V_1\cap V_2)$$

直和

设V1,V2是V(F)的两个子空间，若
$$V_1\cap V_2=0$$
则称他们的和为直和，记为
$$V_1\oplus V_2$$
并且V1+V2是直和等价于以下命题：
$$\alpha \in V_1+V_2表达式唯一$$

$$\begin{gathered} 若{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ，{\alpha }_r是V_1的基，{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ，{\beta }_s是V_2的基， \\ 则{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ，{\alpha }_r，{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ，{\beta }_s是V_1+V_2的基。 \end{gathered}$$

$$dim{V}_1+dim{V}_2=dim(V_1+V_2)$$

线性映射

设S和T是任意两个非空集合，如果存在某个对应关系，使任意s属于S，在T中存在唯一的元素t与s相对应，则称此对应关系是S到T的一个映射。它满足：S中任一元素都有像，像必在T中，像唯一。
$$\begin{gathered} \sigma ：s\to t，或\sigma (s)=t \\ 称t为s在\sigma 之下的像，s为t在\sigma 之下的一个原像 \end{gathered}$$
若S到T的映射满足：
$$\begin{gathered} \forall s_1,s_2\in S,有\sigma (s_1+s_2)=\sigma (s_1)+\sigma (s_1) \\ \forall s\in S,\forall k\in F,有\sigma (ks)=k\sigma (s) \end{gathered}$$
称σ是从S到T的线性映射。

线性变换

线性空间V(F)到自身的线性映射称为V(F)中的线性变换，记为
$$\mathcal{A}$$

$$\begin{gathered} 若{\mathcal{A}}_1,{\mathcal{A}}_2都是V_n(F)中的线性变换，\forall \alpha \in V_n(F),{\mathcal{A}}_1(a)={\mathcal{A}}_2(a) \\ 说明{\mathcal{A}}_1,{\mathcal{A}}_2相等，记为{\mathcal{A}}_1={\mathcal{A}}_2 \\ 易见{\mathcal{A}}_1={\mathcal{A}}_2的充要条件为：{\mathcal{A}}_1({\epsilon }_i)={\mathcal{A}}_2({\epsilon }_i),i=1,2,...,n \\ 其中{\epsilon }_1,...,{\epsilon }_i,...,{\epsilon }_n为V_n(F)的基 \end{gathered}$$

数乘变换、恒等变换、零变换

$$\begin{gathered} \forall k\in F,\forall \alpha \in V_n(F),定义\mathcal{A}(a)=ka, \\ 称\mathcal{A}为由数所决定的数乘变换，几何上表示\mathcal{A}(a)与a共线。 \\ k=1，称为恒等变换，记为\mathcal{C},即\mathcal{C}(a)=a \\ k=0,称为零变换，记为\mathcal{O}，即\mathcal{O}(a)=0 \end{gathered}$$

线性变换的数量乘积、线性变换的和

$$\begin{gathered} \forall k\in F,\forall \alpha \in V_n(F),定义({\mathcal{A}}_1+{\mathcal{A}}_2)(a)={\mathcal{A}}_1(a)+{\mathcal{A}}_2(a), \\ 称{\mathcal{A}}_1+{\mathcal{A}}_2为线性变换{\mathcal{A}}_1与{\mathcal{A}}_2的和 \\ 定义(k\mathcal{A})(a)=k\mathcal{A}(a) \\ 称k\mathcal{A}为k与线性变换\mathcal{A}的数量乘积 \\ 记(-1)\mathcal{A}=-\mathcal{A},称-\mathcal{A}是\mathcal{A}的负变换，显然-\mathcal{A}+\mathcal{A}=\mathcal{O} \\ 定义({\mathcal{A}}_1{\mathcal{A}}_2)(a)={\mathcal{A}}_1({\mathcal{A}}_2(a)),称{\mathcal{A}}_1{\mathcal{A}}_2为线性变换{\mathcal{A}}_1与{\mathcal{A}}_2的乘积 \end{gathered}$$

线性变换的加法与数乘的性质

$$\begin{gathered} 交换律：{\mathcal{A}}_1+{\mathcal{A}}_2={\mathcal{A}}_2+{\mathcal{A}}_1 \\ 结合律：({\mathcal{A}}_1+{\mathcal{A}}_2)+{\mathcal{A}}_3={\mathcal{A}}_1+({\mathcal{A}}_2+{\mathcal{A}}_3) \\ 零元素：\mathcal{A}+\mathcal{O}=\mathcal{A} \\ 负元素：\mathcal{A}+(-\mathcal{A})=0 \\ 1数乘：1\mathcal{A}=\mathcal{A} \\ 数结合：k(l\mathcal{A})=(kl)\mathcal{A} \\ 分配律：(k+l)\mathcal{A}=k\mathcal{A}+l\mathcal{A} \\ 分配律：k({\mathcal{A}}_1+{\mathcal{A}}_2)=k{\mathcal{A}}_1+k{\mathcal{A}}_2 \\ {V}_n(F)上的所有线性变换的集合构成一个线性空间，记为End(V) \end{gathered}$$

线性变换的表示矩阵

$$\begin{gathered} 设\mathcal{A}是V_n(F)上的线性变换，{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,...,{\epsilon }_n是V_n(F)的基， \\ 于是\mathcal{A}({\epsilon }_1),\mathcal{A}({\epsilon }_1),...,\mathcal{A}({\epsilon }_n)可由基{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,...,{\epsilon }_n线性表示，且表示法唯一。设: \\ \mathcal{A}({\epsilon }_1)=a_{11}{\epsilon }_1+a_{21}{\epsilon }_2+...+a_{n1}{\epsilon }_n \\ \mathcal{A}({\epsilon }_2)=a_{12}{\epsilon }_1+a_{22}{\epsilon }_2+...+a_{n2}{\epsilon }_n \\ ...... \\ \mathcal{A}({\epsilon }_n)=a_{1n}{\epsilon }_1+a_{2n}{\epsilon }_2+...+a_{nn}{\epsilon }_n \\ 令A=(a_{ij}{)}_{n\times n},称A为线性变换\mathcal{A}在基{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,...,{\epsilon }_n下的表示矩阵 \\ 线性变换\mathcal{A}可唯一确定方阵A，给定一个方阵A，在基{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,...,{\epsilon }_n下可唯一确定一个线性变换\mathcal{A} \end{gathered}$$

欧氏空间

$$\begin{gathered} 设V是实数域R上的n维线性空间，对任给的\alpha ,\beta \in V,按某种法则对应着一个实数，记为(\alpha ,\beta ), \\ 如果满足下面四个条件： \\ 交换律：(\alpha ,\beta )=(\beta ,\alpha ) \\ 齐次性：(k\alpha ,\beta )=k(\alpha ,\beta ),k为任意实数 \\ 分配律：(\alpha +\beta ,\gamma )=(\alpha ,\gamma )+(\beta ,\gamma ),\gamma \in V \\ 非负性：(\alpha ,\alpha )\ge 0;(\alpha ,\alpha )=0,当且仅当\alpha =\theta \\ 则称实数(\alpha ,\beta )为定义在V上的内积，定义了这样内积的n维线性空间V为： \\ n维欧几里得空间，简称欧式空间，记为V_n(R,E) \end{gathered}$$

欧式空间实例：

$$\begin{gathered} 在n维线性空间R^n中，\forall \alpha =(a_1,a_2,\dots ，a_n{)}^T,\forall \beta =(b_1,b_2,\dots ，b_n{)}^T, \\ 若规定：(\alpha ,\beta )={\alpha }^T\beta ={\beta }^T\alpha =\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i \\ 则它满足上面那四个条件，因此这个式子所定义的内积为R^n中向量的标准内积。 \end{gathered}$$

基的度量矩阵(基的Gram矩阵)

$$\begin{gathered} 设V是n维欧式空间，{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,...,{\epsilon }_n是它的一个基， \\ 令g_{ij}=({\epsilon }_i,{\epsilon }_j),G=(g_{ij}), \\ 则称G为基{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,...,{\epsilon }_n的度量矩阵，也称为基的Gram矩阵 \end{gathered}$$

基的度量矩阵的性质

$$\begin{gathered} 设A为n维欧式空间V的基{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,...,{\epsilon }_n的度量矩阵，则 \\ {A}^T=A,即A是实对称矩阵 \\ \forall \alpha ,\beta \in V;\alpha ,\beta 在基{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,...,{\epsilon }_n下的坐标分别为： \\ x=(x_1,...,x_i,\dots ，x_n{)}^T,y=(y_1,...,y_i,\dots ，y_n{)}^T \\ 则(\alpha ,\beta )=x^{T}Ay \\ \theta \ne \forall \alpha \in V,\alpha =({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,...,{\epsilon }_n)x,必有x^{T}Ax>0 \\ 即A是正定矩阵 \end{gathered}$$

这意味着，欧氏空间中广义的向量的内积，可通过它们在基下的坐标及其度量矩阵的双线性函数来计算。

两组基的度量矩阵的关系

$$\begin{gathered} 设{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,...,{\epsilon }_n;{\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n为n维欧式空间两个基， \\ 他们的度量矩阵分别为A,B. \\ C是{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,...,{\epsilon }_n到{\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n的过渡矩阵，则： \\ B=C^{T}AC \end{gathered}$$

这说明，欧氏空间中不同基的度量矩阵是相合矩阵

酉空间

$$\begin{gathered} 设V是复数域C上的n维线性空间，对任给的\alpha ,\beta \in V, \\ 按某种法则对应着一个复数，记为(\alpha ,\beta ),如果满足下面四个条件： \\ 共轭交换律：(\alpha ,\beta )=\overline{(\alpha ,\beta )} \\ 共轭齐次性：(k\alpha ,\beta )=\bar{k}(\alpha ,\beta ) \\ 分配律：(\alpha +\beta ,\gamma )=(\alpha ,\gamma )+(\beta ,\gamma ),\gamma \in V \\ 非负性：(\alpha ,\alpha )\ge 0;(\alpha ,\alpha )=0,当且仅当\alpha =\theta \\ 则称复数(\alpha ,\beta )为定义在V上的内积， \\ 定义了这样内积的n维线性空间为n维酉空间，记为V_n(C,U) \end{gathered}$$

酉空间中向量的标准内积

$$\begin{gathered} 在n维线性空间C^n中， \\ \forall \alpha =(a_1,...,a_i,...,a_n{)}^T,\forall \beta =(b_1,...,b_i,...,b_n{)}^T, \\ 定义内积(\alpha ,\beta )={\alpha }^H\beta =\sum _{i=1}^n{\bar{a}}_i{b}_i \\ 其中{\alpha }^H=({\bar{a}}_1,...,{\bar{a}}_i,...,{\bar{a}}_n{)}^T,则C^n构成一个酉空间，仍以C^n记之。 \\ 上述定义的内积，称为酉空间C^n中向量的标准内积。 \end{gathered}$$

Hermite矩阵

$$\begin{gathered} 设A=C^{m\times n},\bar{A}表示由A元素的共轭复数所组成的矩阵； \\ 令A^H=(\bar{A}{)}^T,则称A^H为A的共轭转置阵。 \\ 特别若A^H=A，则称A为Hermite矩阵； \\ {A}^H=-A，则称A为反Hermite矩阵 \\ Hermite矩阵与反Hermite矩阵是对称阵与反对称阵的推广。 \end{gathered}$$

共轭转置阵的性质

$$\begin{gathered} A^H=\overline{A^T} \\ (A+B{)}^H=A^H+B^H \\ (kA{)}^H=\bar{k}{A}^H \\ (AB{)}^H=B^H{A}^H \\ (A^H{)}^H=A \\ A可逆时，(A^H{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^H \end{gathered}$$

酉空间基的度量矩阵的性质

$$\begin{gathered} 设A为n维酉空间V的基{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,...,{\epsilon }_n的度量矩阵，则 \\ A=A^H,即A是Hermite矩阵 \\ \forall \alpha ,\beta \in V;\alpha ,\beta 在基{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,...,{\epsilon }_n下的坐标分别为： \\ x=(x_1,...,x_i,\dots ，x_n{)}^T,y=(y_1,...,y_i,\dots ，y_n{)}^T \\ 则(\alpha ,\beta )=x^{H}Ay \\ \theta \ne \forall \alpha \in V,\alpha =({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,...,{\epsilon }_n)x,必有x^{H}Ax>0 \\ 即A是正定矩阵 \end{gathered}$$

酉空间两组基的度量矩阵的关系

$$\begin{gathered} 设{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,...,{\epsilon }_n;{\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n为n维酉空间两个基， \\ 他们的度量矩阵分别为A,B. \\ C是{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,...,{\epsilon }_n到{\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n的过渡矩阵，则： \\ B=C^{H}AC \end{gathered}$$

内积空间的度量

$$\begin{gathered} 设V是酉(欧式)空间，\forall \alpha \in V,\alpha 的长度定义为： \\ ||\alpha ||=\sqrt{(\alpha ,\alpha )} \\ 长度为1的向量称为单位向量， \\ 如果\alpha \ne \theta ,则\frac{\alpha }{||\alpha ||}是一个单位向量。 \\ \forall \alpha ,\beta \in V,称||\alpha -\beta ||为\alpha ,\beta 之间的距离，记为d(\alpha ,\beta ) \end{gathered}$$

向量长度的性质

$$\begin{gathered} 设V是酉(欧式)空间，则向量的长度具有以下性质： \\ ||\alpha ||\ge 0,||\alpha ||=0时，\alpha =\theta \\ ||k\alpha ||=|k|||\alpha || \\ |(\alpha ,\beta )|\le ||\alpha ||||\beta ||，(Cauchy-Schwarz不等式) \\ 等号成立的充要条件是\alpha ，\beta 线性相关 \\ ||\alpha +\beta ||\le ||\alpha ||+||\beta ||，(三角不等式) \end{gathered}$$

向量组正交

$$\begin{gathered} 设\alpha ，\beta 为欧氏空间两个非零向量，他们之间夹角<\alpha ,\beta >定义为： \\ <\alpha ,\beta >=arccos\frac{(\alpha ,\beta )}{||\alpha ||||\beta ||}, \\ 0\le <\alpha ,\beta >\le \pi \\ 对于酉空间两个非零向量，其夹角： \\ co{s}^2<\alpha ,\beta >=\frac{(\alpha ,\beta )(\beta ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )(\beta ,\beta )}=\frac{|(\alpha ,\beta ){|}^2}{(\alpha ,\alpha )(\beta ,\beta )} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} (\alpha ,\beta )=0时，称\alpha 与\beta 正交。 \\ \theta 与所有向量正交 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\alpha }_1,...,{\alpha }_i,...,{\alpha }_m是不含零向量的向量组，若他们两两正交，则说其为正交向量组。 \\ 若正交向量组内每一个向量都是单位向量，则说该向量组是标准正交向量组。 \\ 显然{\alpha }_1,...,{\alpha }_i,...,{\alpha }_m是标准正交向量组的充要条件是： \\ ({\alpha }_i,{\alpha }_j)={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{l}1,i=j\\ 0,i\ne j\end{array}i,j=1,2,...m \\ 正交向量组是线性无关向量组 \end{gathered}$$

正交基

$$\begin{gathered} 在n维空间中，由n个正交向量所组成的基为正交基， \\ 由n个标准正交向量所组成的基为标准正交基。 \\ {\alpha }_1,...,{\alpha }_i,...,{\alpha }_m是标准正交基充要条件是它的Gram矩阵， \\ 即它的度量矩阵是单位矩阵。 \\ 对于酉(欧式)空间，总能从一组线性无关的极大组出发， \\ 由Gram-Schmidt正交化方法，构造一个标准正交基。 \end{gathered}$$

Gram-Schmidt正交化

$$\begin{gathered} 设{\alpha }_1,...,{\alpha }_i,...,{\alpha }_r是线性无关的向量组 \\ Gram-Schmidt正交化过程： \end{gathered}$$

(1)正交化

(2)标准(单位)化
$$\begin{gathered} {\gamma }_1=\frac{{\beta }_1}{||{\beta }_1||} \\ {\gamma }_2=\frac{{\beta }_2}{||{\beta }_2||} \\ ... \\ {\gamma }_r=\frac{{\beta }_r}{||{\beta }_r||} \\ 则{\gamma }_1,{\gamma }_2,...,{\gamma }_r为span({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_r)一个标准正交基 \end{gathered}$$