参考：
吴恩达视频课
深度学习笔记

1. Mini-batch 梯度下降

在巨大的数据集上进行训练，速度非常慢，如何提高效率？

前面我们学过向量化可以较快的处理整个训练集的数据，如果样本非常的大，在进行下一次梯度下降之前，你必须完成前一次的梯度下降。如果我们能先处理一部分数据，算法速度会更快。

• 把训练集分割为小一点的子集（称之 mini-batch）训练

batch 梯度下降法：指的就是前面讲的梯度下降法，可以同时处理整个 训练集
mini-batch：每次处理的是单个的 mini-batch 训练子集

2. 理解 mini-batch 梯度下降

mini-batch 梯度下降，每次迭代后 cost 不一定是下降的，因为每次迭代都在训练不同的样本子集，但总体趋势应该是下降的

mini-batch 的 size 大小：

• 大小 = m，就是batch梯度下降法
• 大小 = 1，就是随机梯度下降

3. 指数加权平均数

假设，$v_0=0,v_t=\beta \ast v_{t-1}+(1-\beta )\ast {\theta }_t$
选取不同的 $\beta$ 值，得到相应的气温曲线

4. 理解指数加权平均数

假如 $\beta =0.9，t=100$，将上面的带进去求 $v_{100}$

$$\begin{array}{l}{v}_{100}=0.1{\theta }_{100}+0.9{\left(0.1{\theta }_{99}+0.9\left(0.1{\theta }_{98}+0.9v_{97}\right)\right)}_0\\ \\ v_{100}=0.1{\theta }_{100}+0.1\times 0.9{\theta }_{99}+0.1\times (0.9{)}^2{\theta }_{98}+0.1\times (0.9{)}^3{\theta }_{97}+0.1\times (0.9{)}^4{\theta }_{96}+\dots \end{array}$$

好处：代码简单，占用内存极少

$v_{\theta }=0,v_t:=\beta \ast v_{\theta }+(1-\beta )\ast {\theta }_t$
当然，它并不是最好、最精准的计算平均数的方法

5. 指数加权平均的偏差修正

6. 动量Momentum梯度下降法

思想：计算梯度的指数加权平均数，利用该梯度更新权重

上图情况下，标准的梯度下降会上下波动，且要使用较小的学习率，否则会偏离更远。

如果我们使用过去梯度的加权平均，纵向的就抵消了一些，横向的叠加了一些，可以更平滑的快速找向最优点

$$\begin{gathered} v_{dW}=\beta v_{dW}+(1-\beta )dW \\ {v}_{db}=\beta v_{db}+(1-\beta )db \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} W:=W-\alpha \ast v_{dW} \\ b:=b-\alpha \ast v_{db} \end{gathered}$$

• 超参数有 $\alpha$， $\beta =0.9$（ $\beta$ 经常取 0.9）
• 如果想偏差修正，$v_{dW},v_{db}$ 还要除以 $1-{\beta }^t$，实际上人们不这么做，10次迭代之后，偏差就基本很小了

动量梯度下降法，并不是对所有情况都有效，它对碗状的优化效果较好

7. RMSprop

全称是 root mean square prop 算法，它也可以加速梯度下降

微分平方的加权平均数：
$$\begin{gathered} S_{dW}=\beta S_{dW}+(1-\beta )(dW{)}^2 \\ {S}_{db}=\beta S_{db}+(1-\beta )(db{)}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} W:=W-\alpha \ast \frac{dW}{\sqrt{S_{dW}}+\mathcal{E}} \\ b:=b-\alpha \ast \frac{db}{\sqrt{S_{db}}+\mathcal{E}} \end{gathered}$$
$\mathcal{E}=1e^{-8}$ 保证分母不为 0

RMSprop 跟 Momentum 有很相似的一点，可以消除梯度下降和mini-batch梯度下降中的摆动，并允许你使用一个更大的学习率，从而加快你的算法学习速度。

8. Adam 优化算法

Adam (Adaptive Moment Estimation) 优化算法基本上就是将 Momentum 和 RMSprop 结合在一起

• 初始化：$v_{dW}=0,S_{dW}=0,v_{db}=0,S_{db}=0$
• t 次迭代
  Momentum：
  $v_{dW}={\beta }_1{v}_{dW}+\left(1-{\beta }_1\right)dW$
  $v_{db}={\beta }_1{v}_{db}+\left(1-{\beta }_1\right)db$
  RMSprop：
  $S_{dW}={\beta }_2{S}_{dW}+\left(1-{\beta }_2\right)(dW{)}^2$
  $S_{db}={\beta }_2{S}_{db}+\left(1-{\beta }_2\right)(db{)}^2$
  偏差修正：
  $v_{dW}^{\text{corrected }}=\frac{v_{dW}}{1-{\beta }_1^t}$
  $v_{db}^{\text{corrected }}=\frac{v_{db}}{1-{\beta }_1^t}$
  $S_{dW}^{\text{corrected }}=\frac{S_{dW}}{1-{\beta }_2^t}$
  $S_{db}^{\text{corrected }}=\frac{S_{db}}{1-{\beta }_2^t}$
  更新权重：
  $W:=W-\alpha \ast \frac{v_{dW}^{\text{corrected }}}{\sqrt{S_{dW}^{\text{corrected }}}+\epsilon }$
  \quad
  $b:=b-\alpha \ast \frac{v_{\mathrm{d}\mathrm{b}}^{\text{correted }}}{\sqrt{S_{\mathrm{d}\mathrm{b}}^{\text{corrected }}}+\epsilon }$

Adam算法结合了 Momentum 和 RMSprop 梯度下降法，并且是一种极其常用的学习算法
其被证明能有效适用于不同神经网络，适用于广泛的结构

超参数：

• 学习率 $\alpha$
• ${\beta }_1=0.9$，常用
• ${\beta }_2=0.999$，作者推荐
• $\epsilon =1e^{-8}$

9. 学习率衰减

慢慢减少 学习率 的本质在于，在学习初期，使用较大的步伐，开始收敛的时候，用小一些的学习率能让步伐小一些

• 对不同的 mini-batch 进行训练，一次称之为 epoch
  $$\alpha =\frac{1}{1+decayRate\ast epochNum}\ast {\alpha }_0$$

还有些其他的方法：
$$\begin{gathered} \alpha =0.95^{epochNum}{\alpha }_0 \\ \alpha =\frac{k}{\sqrt{epochNum}}{\alpha }_0 \\ \alpha =\frac{k}{\sqrt{t}}{\alpha }_0，t为\text{mini-batch}的数字 \end{gathered}$$
还有离散下降学习率，即 不是每步都下调学习率

10. 局部最优的问题

高维度空间中，我们不太可能遇见（概率很低）如上图所示的局部最优点，因为需要这么多的维度方向上都梯度为 0（概率很低）

所以更有可能遇到的是鞍点

基本不会遇见局部最优问题，可能遇见的是平稳段减缓了学习速度，该区域梯度接近于 0 ，要很长时间才能走出去。Momentum 或 RMSprop，Adam 能够加快速度，让你尽早 走出平稳段。

作业

02.改善深层神经网络：超参数调试、正则化以及优化 W2.优化算法（作业：优化方法）

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