关于整数划分的问题

（一）递归法

根据n和m的关系，考虑以下几种情况：

（1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

(2) 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

(3) 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

(a). 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

(b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。

因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

(4) 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);

(5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

(a). 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分

个数为f(n-m, m);

(b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);

因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

f(n, m)= 1; (n=1 or m=1)

f(n, n); (n<m)

1+ f(n, m-1); (n=m)

f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)

代码：

 1 #include<stdio.h>
 2 int div(int n,int m)
 3 {
 4     if (n < m)
 5         return div(n,n);
 6     else if (n==1||m==1)
 7         return 1;
 8     else if (n==m)
 9         return 1 + div(n,m-1);
10     else
11     {
12         return   div(n,m-1) + div(n-m,m);
13     }
14 }
15 int main()
16 {
17     int n,m,t;
18     scanf("%d",&t);
19     while(t--)
20     {
21         scanf("%d%d",&n,&m);
22         printf("%d\n",div(n,m));
23     }
24     return 0;
25 
26 }

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（二）母函数法

则对于从1到N的所有可能组合结果我们可以表示为：

G(x) = (1+x+x^2+x^3+...+x^n) (1+x^2+x^4+...) (1+x^3+x^6+...) ... (1+x^n)

= g(x,1) g(x,2) g(x,3) ... g(x, n)

= a0 + a1* x + a2* x^2 + ... + an* x^n + ... ; （展开式）

上面的表达式中，每一个括号内的多项式代表了数字i的参与到划分中的所有可能情况。因此该多项式展开后，由于x^a * x^b=x^(a+b)，因此 x^i 就代表了i的划分，展开后(x^i)项的系数也就是i的所有划分的个数，即f(n,n)=an （上式中g（x，i）表示数字i的所有可能出现情况）。

由此我们找到了关于整数划分的母函数G（x）；剩下的问题是，我们需要求出G（x）的展开后的所有系数。

为此我们首先要做多项式乘法，对于我们来说并不困难。我们把一个关于x的一元多项式用一个整数数组a[]表示，a[i]代表x^i的系数，即：

g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a[n]x^n;

 1 多项式相乘，即c=a*b
 2 
 3 #define N 130
 4 
 5 unsigned long a[N];/*多项式a的系数数组*/
 6 
 7 unsigned long b[N];/*多项式b的系数数组*/
 8 
 9 unsigned long c[N];/*存储多项式a*b的结果*/
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12 
13 /*两个多项式进行乘法，系数分别在a和b中，结果保存到c ，项最大次数到N */
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15 /*注意这里我们只需要计算到前N项就够了。*/
16 
17 void Poly()
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19 {
20 
21     int i,j;
22 
23     memset(c,0,sizeof(c));
24 
25     for(i=0; i<N; i++)
26 
27             for(j=0; j<N-i; j++) /*y<N-i： 确保i+j不会越界*/
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29                   c[i+j] += a[i]*b[j];
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31 }

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 1 计算G（x）的前N项系数
 2 
 3 /*计算出前N项系数！即g(x,1) g(x,2)... g(x,n)的展开结果*/
 4 
 5 void Init()
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 7 {
 8 
 9     int i,k;
10 
11     memset(a,0,sizeof(a));
12 
13     memset(c,0,sizeof(c));
14 
15     for(i=0;i<N;i++) a[i]=1; /*第一个多项式：g(x, 1) = x^0 + x^1 + x^2 + x^3 +  */
16 
17     for(k=2;k<N;k++)
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19     {
20 
21         memset(b,0,sizeof(b));
22 
23         for(i=0;i<N;i+=k) b[i]=1;/*第k个多项式：g(x, k) = x^0 + x^(k) + x^(2k) + x^(3k) +  */
24 
25         Poly(); /* 多项式乘法：c= a*b */
26 
27         memcpy(a,c,sizeof(c)); /*把相乘的结果从c复制到a中：c=a; */
28 
29     }
30 
31 }