题目

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们可以把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

2 <= n <= 58

来源：力扣（LeetCode）

数论

数学的魅力被展现的淋漓尽致~

思路

除非不得已的情况，否则不要剪成长度为1的段（1乘n等于n，对于最大乘积没有提升）。
任何大于1的数都可由2和3相加组成（根据奇偶证明）。
因为2*2=1*4，2*3>1*5, 所以将数字拆成2和3，能得到的积最大。（4和5还是拆分成2、3更有利）
因为2*2*2<3*3, 所以3越多积越大

代码

class Solution {
public:int cuttingRope(int n) {return n <= 3? n - 1 : pow(3, n / 3) * 4 / (4 - n % 3);}
};

复杂度分析

时间复杂度：O(log(n/3))
空间复杂度：O(1)

动规一

这个版本比较好理解。

思路

每段都应该为3或者2（证明段应该为2或3不再赘述）。
将n=2和n=3时最大乘积作为不具有规律的特殊值直接返回（因为n<=3时无法切分成3，不具有第一点所说的规律）。
动态规划数组dp中 下标为n 的位置保存着 长度为n的绳子的最大乘积（n=2，3时不再此列，已做特殊处理）。
dp数组的长度：由于定义 dp[i] 为绳长度为 i 时的结果，因此 dp[n] 为最后一项，所以数组的总长度为 n + 1 。
dp下标为1，2，3中保存的就是1，2，3，其含义是 当n>3时，3已经不用在切分了， 切成1，2的话最大乘积也就是2，不切的话得到3，比切了得到的2更大（dp[2]同理）。

代码

class Solution {
public:int cuttingRope(int n) {if(3 >= n){return n-1;}vector<int> dp(n+1，0);dp[1] = 1;dp[2] = 2;dp[3] = 3;for(int i = 4; i <= n; i++){ // n > 3的处理// j<=i/2是因为1*3和3*1是一样的，没必要计算在内，只要计算到1*3和2*2就好了for(int j = 2; j <= i/2; j++){// 剪一段长度为1的绳子对乘积的提升没有作用// 因此从2开始剪dp[i] = max(dp[i], dp[j] * dp[i-j]);}}return dp[n];}
};

动规二

有一点抽象，但是不做特殊值的处理，属于力求包含所有规律的“正规”动规。

思路

将 n=2 的值作为历史值，开始求规律。
max(dp[i-j], i-j) 对于这一步可能是最难理解的，其实这只是为了处理 n=3 的特殊情况，逻辑思想是： 减去 j 后，剩余部分可以剪也可以不剪。如果不剪，则得到的长度乘积为 j * (i - j) ；如果剪，得到的长度为 j * dp[i - j] 。两者取最大值。

为什么说这只是为了处理 n=3 的特殊情况呢？
其实在数论方法中我们已经提到过了—— 因为2*2=1*4，2*3>1*5, 所以将数字拆成2和3，能得到的积最大。（4和5还是拆分成2、3更有利），也就是仅对于 2（和3），有 dp[2] （dp[3]）小于 2(3)，在 n>3 时，max(dp[i-j], i-j) 的结果是恒定的—— dp[n] > n。

代码

class Solution {
public:int cuttingRope(int n) {if(n == 2){return 1;}vector<int> dp(n+1);dp[2] = 1;for (int i=3; i<=n; ++i){ // n >= 3for (int j=1; j<=i/2; ++j){// j 减去的长度dp[i] = max(max(dp[i-j], i-j) * j, dp[i]);}}return dp[n];}
};

对最终结果取模1e9+7

思路

动规是用不了了，因为：

计算结果可能会超出int/long范围
取余之后max函数就不能用来比大小了（所有大于1e9+7的数取模后就小于1e9+7了，也就是 n=120 以后最大乘积的值都是固定的）

因此应该用贪心的思想。

代码

class Solution {
public:int cuttingRope(int n) {if(n<=3){return n - 1;}int flag = 1000000007;long sum = 1;while(n > 4){sum = (sum * 3) % flag;n -= 3;}return (sum * n) % flag;}
};