题目

输入一个整数 n ，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

例如，输入12，那么1～12这些整数中包含1 的数字有1、10、11和12。可得1一共出现了5次。

思路

将个位、十位……每位1出现的次数加起来就是1一共出现的次数。

以12为例，个位上1出现了 2 次分别是 01，11（暂时不看11的十位）。

十位上1出现了 3 次，分别是10，11，12。

因此1~12中1一共出现了 2+3=5 次。

两位数不好找规律，我们以四位数为例。一个四位数十位上 1 出现的次数，与十位上的值有关。根据值不同，可分为三种情况，值为0，1，2~9：

我们通过三个不同四位数进行探讨，分别是 2304 ， 2314 和 2324 ：

我们将数字划分为三部分，当前位（cur），高位（high），以及低位（low），用digit表示当前处于哪个数位。

当 cur = 0 时：此位 1 的出现次数只由高位 high 决定，计算公式为：

high×digit

详细分析：

对于2304来讲，十位出现1的范围：0010~2219 没有什么可多说的。

那么1出现的次数怎么算呢？

光看高位的话，00 ~ 22 总共有 23 种数字，也就是 001X ~ 221X 。而其中的 ‘X'，有 0 ~ 9 总共 10 种取法，也就是说排列组合下来，可以构成有 23*10=230 个十位为1的数字，如下表：

high	cur	low
00	1	0
00	1	1
00	1	2
00	1	3
00	1	4
00	1	5
00	1	6
00	1	7
00	1	8
00	1	9
…	1	…
22	1	0
22	1	1
22	1	2
22	1	3
22	1	4
22	1	5
22	1	6
22	1	7
22	1	8
22	1	9

当 cur = 1 时：此位 1 的出现次数由高位 high 和低位 low 共同决定，计算公式为：

high×digit+low+1

在这里插入图片描述
详细分析：

十位上1出现的次数怎么算呢？

出现 1 的数字范围： 0010 ~ 2314

光看高位的话，有 00 ~ 23 总共 24 种组合排列方法，但是！ 对于 00 ~ 22 这 23 种高位来讲，低位都有 0 ~ 9 总共 10 种排列组合 —— 0010 ~ 0019 或 2210 ~ 2219 ，但是 23 不同，其低位只有 0 ~ 4 五种排列组合 —— 2310 ~ 2314 。因此，可以构成 23*10+5=235 个十位为 1 的数字（23*10代表 【高位为00~22】 的所有数字，5代表 【高位为23】 的所有数字）。

当 cur=2,3,⋯,9 时：此位 1 的出现次数只由高位 high 决定，计算公式为：

(high+1)×digit

在这里插入图片描述
详细分析：

十位上1出现的次数怎么算呢？

此时与 cur=1 不同，cur=1 时出现的次数还需要看 low 的值，此时出现 1 的数字范围： 0010 ~ 2319 ，也就是说，高位为 23 时，低位也有 0 ~ 9 共计 10 种排列组合方法，与高位为 00 ~ 22 时一样，因此，cur=2~9 时，十位上 1 出现的次数为：24*10=240 。

上面各图源自jyd大佬

代码

class Solution {
public:int countDigitOne(int n) {long long digit = 1;int low = 0;int cur = n % 10;int high = n / 10;int sum = 0;while(high || cur){if(cur==0){sum += high * digit;}if(cur==1){sum += high*digit+low+1;}if(cur!=0 && cur!=1){sum += (high+1)*digit;}low += cur * digit;cur = high % 10;high /= 10;digit *= 10;}return sum;}
};