题目

请实现一个函数用来匹配包含 . 和 * 的正则表达式。模式中的字符 . 表示任意一个字符，而 * 表示它前面的字符可以出现任意次（含0次）。在本题中，匹配是指字符串的所有字符匹配整个模式。例如，字符串 aaa 与模式 a.a 和 ab*ac*a 匹配，但与 aa.a 和 ab*a 均不匹配。

来源：力扣（LeetCode）

思路

再一次膜拜大佬作者：jyd
本文基于大佬的思路做自己的细节解析。

其实动规的难点一直在于“找规律”。（恐怕这也是所有算法题的难点，哈哈）

本题其实就是在考察程序员思考问题的全面性。

转移方程

先建立这道题的转移方程：

用 f[i][j] 代表 s 的前 i 个和 p 的前 j 个能否匹配。

当正则表达式中为 正常字符 和 . 时，问题是很好解决的：

f[i][j]=f[i−1][j−1]

前 i 个 s 和 前 j 个 p 是否匹配还要看 前 i-1 个 s 和 前 j-1 个 p 是否匹配。

难点就在于是 字符 + * 时该怎么处理：

分为将字符看成 出现0次（也就是不看这两位）和 出现多次（看这个组合）：

不看：直接砍掉正则串的后面两个， f[i][j] = f[i][j-2]
看：正则串不动，主串前移一个，f[i][j] = f[i-1][j]

上面两点，大部分题解已经说的很明白了，但其实又很抽象。我们不妨用例子来看一下：

第一种比较好理解 —— f[i][j] = f[i][j-2]

s=abcd
p=abcde*

将主串的最后一位视为 i（a），正则串最后一位视为 j（*）。显而易见两个字符串是完全匹配的。只需要 * 前面的 e（j-1）出现0次就可（正则串里面的 d 就是 j-2）。

第二种理解起来可能有点抽象 —— f[i][j] = f[i-1][j]

s=abccc
p=abc*

此时 i为c 、j为*，因为 *前面的字符 可以 出现多次，也就是出现1次的递归操作。因此此时我们做的操作就是：

已经知道了 i 是 j（也就是*前的字符） ，那么再试着看看 i-1 还是不是 j。

也就是原本相互匹配的字符我们不看了（都做-1操作），i 和 j 彼此是匹配的，理应再看 i-1 和 j-1，但是我们想要 j 多出现几次，因此 j-1 的操作没有执行。这就是下图中，jyd大佬所说的 p[j-2]多出现1次。
在这里插入图片描述
图中总说 s[i-1] p[j-1] 为什么不是直接用 s[i] p[j] 呢？这个问题讲完初始化dp数组首行我们再细说。

特征

弄懂了主要的验证是否匹配的操作，接下来我们需要弄懂一些特例：

首先明晰一点：正则串和主串都是可以为空串的。

空主串和空正则是匹配的。
非空串和空正则必不匹配。
空主串和非空正则，不能直接判定匹配与否。
非空串和非空正则，那肯定是需要计算的了。

我们可以根据上面的特征，来初始化dp二维数组。

行代表s，列代表p，dp[0][j] 代表s为空，dp[i][0]代表p为空。

第四点其实就是我们的转移方程。因此我们来详解一下第三点：

当s= '' '' 时，p=a*b*c* 和 p=ab* 前者可以做到和空主串完美匹配，后者却不行。因此我们可以得出以下规律：

在这里插入图片描述
因此可以得到初始化dp首行的代码（首列无需做多余更改，空正则除了匹配空主串，其余皆不匹配）：

// 初始化dp首行
dp[0][0] = 1;
for(size_t i = 2; i < cols; i += 2){dp[0][i] = dp[0][i-2] && p[i-1] =='*';
}

再探 i 和 j

我读完大佬写的题解的时候其实还是很懵懂的，真正豁然开朗是看了大佬的图解。大佬做图解一直有一手的~

下面结合图解来讲一下我们遗留的问题，dp[i][j] 和与之相对应的 s[i-1] p[j-1]。

我们借用一下大佬的图来看一下：
在这里插入图片描述
我们会发现，前面提到：

第一行，也就是下标为0的那行，代表 s 为空串
第一列，也就是下标为0的那列，代表 p 为空串

我们是从第二行（下标为1的行）和第二列（下标为1的列）开始保存 s 和 p 的非空部分的。

因此，举个具体的例子：dp[1][1]其逻辑含义是，保存的值表示 前1个s 和前1个p 是否匹配。在物理上代表 s[0] 和 p[0] 组成的点。因此我们也就不难理解大佬图解中频繁出现的 dp[i][j] 和 s[i-1] p[j-1] 之间的关系了。

代码

class Solution {
public:bool isMatch(string s, string p) {int rows = s.size()+1;int cols = p.size()+1;vector<vector<int>> dp(rows, vector<int>(cols, 0));// 初始化dp首行dp[0][0] = 1;for(size_t i = 2; i < cols; i += 2){dp[0][i] = dp[0][i-2] && p[i-1] =='*';}// 动规for(size_t i = 1; i < rows; i++){for(size_t j = 1; j < cols; j++){if(p[j-1] != '*'){if(dp[i-1][j-1] && (s[i-1]==p[j-1] || p[j-1] == '.')){dp[i][j] = 1;}}else{if(dp[i][j-2] || (dp[i-1][j] && (s[i-1] == p[j-2] || p[j-2] == '.'))){dp[i][j] = 1;}}}}return dp[rows-1][cols-1];}
};