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题目

给一个只循环递增一次的数组 res，res 满足首元素大于等于尾元素，形如：

4，5，6，7，2，4

再给出一个整型数字 num，将其插入到数组中应在的位置。

示例：

输入：

res = 4，5，6，7，2，4
num = 3

输出：

4，5，6，7，2，3，4

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思路

用二分查找确定应该插入的位置，难点在于左右区间的建立。

如何建立左右区间？

首先明确两点，对于整个数组而言：

• 首元素一定 大于等于 尾元素
• 以数组的最大值为界限，最大值左边的元素一定 大于等于 右边的元素

用图像表示数组是这样的（黑色表下标，紫色表值）：

我们可以看到，要插入的元素无非在最高点的左边或右边（自下文始，最高点用high替代，首元素位置用begin表示，尾元素位置用last表示）：

• 当 num 处于最高点左边时，二分查找的范围应该是 [begin, high]
• 当 num 处于最高点右边时，二分查找的范围应该是 [high+1，last]

也就是说，划定二分查找范围（左右区间的建立）的重中之重在于最高点的确定。

如何查找最高点？

个人想到两种方法：

• 遍历查找，时间复杂度O(n)

算法思想没有什么多说的，中规中矩的遍历。

int high = 0;
for (int i = 1; i < res.size(); i++) {if (res[high] > res[i]) {break;}high = i;
}

• 二分查找，时间复杂度O(log²n)

算法思想是:

1. 先以数组首元素、尾元素作为二分查找的左右边界，中间元素暂定为high
2. 以 左边界小于右边界 作为while的循环条件
3. 首先判断此时的high是否大于首元素
4. 大于首元素证明此时的high处于 真正最高点的左边 或 就是真正最高点，此时需要判定high+1中元素和high中元素之间的关系：

1. 如果high+1中元素大于high中元素，表明 真正最高点应该在high的左边，因此更新左边界—— left = high + 1
2. 如果high+1中元素小于high中元素，表明 high即为真正最高点 ，因此break出while循环即可

5. 小于首元素证明此时的high处于 真正最高点的右边 ，此时需要判定high和high-1所指元素之间的关系：

1. 如果 res[high - 1] < res[high] （如举例中high=6时，4>3），表明最高点仍在 high-1的左边，也就是high-1也处于真正最高点的右边，因此要更新右边界—— right = high - 2
2. 如果 res[high - 1] > res[high] ， 此时表明high-1即为最高点，因此将high–并break出while循环即可

6. 每次循环更新完左右边界之后需要更新high值—— high = left + (right - left) / 2;
7. 跳出while循环得到的high即为最高点的位置

int size = res.size() - 1;
int left = 0;
int right = size;
int high = left + (right - left) / 2;
int flag = res[0];
while (left < right) {if (res[high] >= flag) {if (res[high + 1] > res[high]) {left = high + 1;}else {break;}}else {if (res[high - 1] < res[high]) {right = high - 2;}else {high--;break;}}high = left + (right - left) / 2;
}

那我们怎么判断 num 到底处于什么样的位置呢？

这时应该结合之前我们说到的一句话：

首元素一定 大于等于 尾元素

那我们做个归纳，如果：

1. num > res[0] ，num 处于 high 左边
2. res[end] < num == res[0] ，num 处于 high 右边，插入到尾元素的位置
3. res[end] == num == res[0] ，不可能出现这种情况，因为这种情况下num没有位置可以插入。
4. res[end] == num < res[0] ，num 处于 high 左边，插入到首元素的位置
5. res[end] > num ，num 处于 high 右边

第二点和第四点是什么意思呢？

关于第二点，我们举这样一个例子：

输入：

res = 5，6，7，2，4
num = 5

输出：

res = 5，6，7，2，4，5

关于第四点，我们举这样一个例子：

输入：

res = 6，7，2，4，5
num = 5

输出：

res = 5，6，7，2，4，5

因此根据上面的归纳我们可以得到代码：

注意：因为第三种情况不可能出现，因此我们在描述第2、4种情况时可以省略大小比较，因为当2、4种描述的等于关系成立时，大小关系必然成立。

if (res[size] > num || num == res[0]) { // num处于high右边left = high + 1;right = size;
}
if(num > res[0] || num == res[size]) { // num处于high左边left = 0;right = high;
} 

如何确定插入位置？

建立好左右边界后就可以根据二分查找来确定插入位置了。

1. 当左边界小于右边界时执行二分查找。
2. 中间点（mid）对应的元素小于 num 时，左边界更改为 mid+1 。
3. mid 对应的元素大于 num 时，右边界更改为 mid-1 。

int mid = left + (right - left) / 2;
while (left <= right)
{if (res[mid] < num) {left = mid + 1; }else {right = mid - 1;}mid = left + (right - left) / 2;
} 

插入元素

最终使用insert函数进行插入：

res.insert(res.begin() + mid, num);

insert会将给定值插入到给定位置之前。

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代码

class Solution {
public:vector<int> fun(vector<int> res, int num) {int size = res.size() - 1;int left = 0;int right = size;/*int high = 0;for (int i = 1; i < res.size(); i++) {if (res[high] > res[i]) {break;}high = i;}*/// 与上面注释部分一样都是查最高点int high = left + (right - left) / 2;int flag = res[0];while (left < right) {if (res[high] > flag) {if (res[high + 1] > res[high]) {left = high + 1;}else {break;}}else {if (res[high - 1] < res[high]) {right = high - 2;}else {high--;break;}}high = left + (right - left) / 2;}// 确定左右边界if (res[size] > num || num == res[0]) { // num处于high右边left = high + 1;right = size;}if(num > res[0] || num == res[size]) { // num处于high左边left = 0;right = high;} // 确定插入位置int mid = left + (right - left) / 2;while (left <= right){if (res[mid] < num) {left = mid + 1; }else {right = mid - 1;}mid = left + (right - left) / 2;} res.insert(res.begin() + mid, num);return res;}
};

用例测试：

int main() {Solution s;vector<int> iv = { 4,5,6,7,1,2,4 };int num = 3;iv = s.fun(iv, num);for (auto i = iv.begin(); i != iv.end(); i++) {cout << *i << " ";}cout << endl;
}