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迭代实现快速幂

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数（即，xn）。不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题。

示例 1：

输入：x = 2.00000, n = 10
输出：1024.00000

示例 2：

输入：x = 2.10000, n = 3
输出：9.26100

示例 3：

输入：x = 2.00000, n = -2
输出：0.25000
解释：2^-2 = 1/2² = 1/4 = 0.25

提示：

-100.0 < x < 100.0
-231 <= n <= 231-1
-104 <= xn <= 104

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思路

想用累乘处理幂路子就走窄了，超时是板上钉钉的。

用快速幂的思想才符合题目考察的意图，在详说快速幂之前说一个很刁钻的测试用例 —— n=-2147483648。

int的取值范围

我们知道：

• int的取值范围是-2147483648（-2³¹）到2147483647（2³¹ - 1）
• -2147483648有一位符号位可用，因此2147483647是32位操作系统中最大的符号型整型常量。
• 当出现这个刁钻的测试用例时，如果对n粗暴的取绝对值的话，int是容纳不下的，因此当 n<0 时， 需要定义一个long long类型变量 m 来存储 n 的绝对值。

快速幂

从二进制的角度来理解

• 对于任何十进制正整数 n ，设其二进制为
  则有：

• 根据以上推导，可把计算 xⁿ 转化为解决以下两个问题：

• 因此，应用以上操作，可在循环中依次计算
  的值，并将所有累计相乘即可。

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从二分法的角度来理解

快速幂实际上是二分思想的一种应用。

• 二分推导： xⁿ = x^n/2 × x^n/2 = （x²)^n/2，令 n/2 为整数，则需要分为奇偶两种情况（设向下取整除法符号为 “//” ）：

• 幂获取结果：

1. 根据二分推导，可通过循环 x = x² 操作，每次把幂从 n 降至 n//2 ，直至将幂降为 0 ；
2. 设 sum=1 ，则初始状态 xⁿ = xⁿ × sum。在循环二分时，每当 n 为奇数时，将多出的一项 x 乘入 sum ，则最终可化至 xⁿ = x⁰ * sum = sum，返回 sum 即可。

转自作者：jyd

算法流程：

1. 当 x = 0 时：直接返回 0 （避免后续 x = 1 / x 操作报错）。
2. 初始化 sum = 1 ；
3. 当 n < 0 时：把问题转化至 n≥0 的范围内，即执行 x = 1/x ，n = - n ；
4. 循环计算：当 n = 0 时跳出；

• 当 n&1=1 时：将当前 x 乘入 sum（即 sum∗=x ）；
• 执行 x = x²（即 x∗=x ）；
• 执行 n 右移一位（即 n>>=1）。

5. 返回 sum。

代码

class Solution {
public:double myPow(double x, int n) {if(x == 0) return 0;double sum = 1;long long m = n;if(n < 0){x = 1.0/x;m = -m;}while(m > 0){if(m & 1){sum *= x;}x *= x;m >>= 1;}return sum;}
};

复杂度分析

• 时间复杂度 O(log_2 n)： 二分的时间复杂度为对数级别。
• 空间复杂度 O(1)： sum， b 等变量占用常数大小额外空间。

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进阶——超级次方

计算 a^b 对 1337 取模，a 是一个正整数，b 是一个非常大的正整数且会以数组形式给出。

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思路

本题的难点在于对 数组b 的处理，显然无法将其转为 一个具体类型，因此解决方法无非就是 在 倒序 or 正序 遍历数组的同时进行次方处理。

倒序+快速幂

本质无非就是把上面提到的二进制思想转为十进制，具体来说：

2²³ 可以看作 2⁽¹⁰ * ^{2) + (1} * ³⁾ ，也就是 1024² * 2³ 。

那么我们只需要在第 k 次 倒序遍历 数组 b 的同时，记录 a 的 10^k-1 次方即可。

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正序+快速幂

思路源于秦九韶算法，一般地，一元 n 次多项式的求值需要经过 $\frac{(n+1)\ast n}{2}$ 次乘法和 $n$ 次加法，而秦九韶算法只需要 $n$ 次乘法和 $n$ 次加法。大大简化了运算过程。

把一个 n 次多项式：

改写成如下形式：

举个具体的例子，计算 $2^{234}$：

$2^{234}=2^{200+30+4}=2^{200}\ast 2^{30}\ast 2^4=(2^{20}\ast 2^3{)}^{10}\ast 2^4=[(1^{10}\ast 2^2{)}^{10}\ast 2^3{]}^{10}\ast 2^4$

最后一步推导实际上是对规律的归纳，即：以 1 作为初始值 res，每次有 新项 加入时，对 res 执行 $res=re{s}^{10}\ast 新项$ 的操作。

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代码

class Solution {const int MOD = 1337;int quickmul(int x, int n){ // 快速幂实现pow功能if(x == 0) return 0;int sum = 1;while(n){if(n&1) sum = (long)sum * x % MOD;n >>= 1;x = (long)x * x % MOD;}return sum;}
public:int superPow(int a, vector<int>& b) { // 倒序int res = 1, n = b.size();for(int i=n-1; i>=0; i--){res = (long)res * quickmul(a, b[i]) % MOD;a = quickmul(a, 10); // 记录当前 a 的幂}return res;}int superPow(int a, vector<int>& b) { // 正序int res = 1, n = b.size();for(int i : b){res = (long)quickmul(res, 10) * quickmul(a, i) % MOD;// 加入新项时，对 res 执行 res = res^10 * 新项 的操作}return res;}
};

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复杂度分析

• 时间复杂度O(${\sum }_{i=0}^{n-1}\log b_i$)： 其中 n 是数组 b 的长度，对每个 $b_i$ 计算快速幂的时间为 O($\log b_i$)。
• 空间复杂度O(1)： 过程由迭代实现，避免了递归方法对栈空间的占用，只需要常数的空间存放若干变量。