正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF961G

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题目大意

$n$个物品分成$k$个组，每个物品权值为$w_i$。一个子集$S$的权值为$|S|{\sum }_{x\in S}{w}_x$。

求所有划分方法的权值和。

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解题思路

考虑对于每个数$w_i$的贡献，可以看为同一集合内每一个数都对其进行过贡献。$w_i$对自身的贡献为$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}$（也就是每一种划分方案都是）。对于$j\ne i$的贡献，我们将$w_i$和$w_j$绑定在一个组中，方案数就是$\left\{\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right\}$。也就是对于每一个会被计算$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}+(n-1)\left\{\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right\}$

考虑用斯特林数的通项计算（先是通项的推导）。
定义$f(x)=x^n,g(x)=\left\{\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right\}x!$
那么有$$f(x)=x^n=\sum _{k=0}^x\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k}\right)\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}k!=\sum _{k=0}^x\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k}\right)g(k)$$
根据二项式反演有$$g(k)=\sum _{i=1}^k(-1{)}^{k-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})f(i)$$
也就是$$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}k!=\sum _{i=1}^k(-1{)}^{k-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})i^k$$
化简得$$\left\{\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right\}=\frac{1}{m!}\sum _{k=0}^m(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(m-k{)}^n$$

然后计算即可。

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll XJQ=1e9+7,N=2e5+10;
ll n,m,ans,inv[N],fac[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%XJQ;x=x*x%XJQ;b>>=1;}return ans;
}
void init(){fac[0]=inv[0]=1;for(ll i=1;i<=m;i++){inv[i]=inv[i-1]*power(i,XJQ-2)%XJQ;fac[i]=fac[i-1]*i%XJQ;}
}
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[n-m]%XJQ*inv[m]%XJQ;}
ll S(ll n,ll m){ll ans=0,z=-1;for(ll i=0;i<=m;i++)z*=-1,(ans+=z*C(m,i)*power(m-i,n)%XJQ)%=XJQ;ans=ans*inv[m]%XJQ;return (ans+XJQ)%XJQ;
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);init();ll k1=S(n,m),k2=S(n-1,m)*(n-1)%XJQ;for(ll i=1;i<=n;i++){ll x;scanf("%lld",&x);(ans+=x*(k1+k2)%XJQ)%=XJQ;}printf("%lld",ans);
}