正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4827

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题目大意

一颗$n$个点的树，定义$dis(i,j)$表示树上$i,j$两点的距离，对于每个$i$求$$\sum _{j=1}^{n}dis(i,j{)}^m$$

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解题思路

根据斯特林数的性质我们有
$$n^m=\sum _{k=0}^m\left\{\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right\}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)k!$$
那么就有
$$dis(i,j{)}^m=\sum _{k=0}^m\left\{\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right\}(\genfrac{}{}{0ex}{}{dis(i,j)}{k})k!$$
也就是要求
$$\sum _{j=1}^{n}dis(i,j{)}^m=\sum _{j=1}^n(\sum _{k=0}^m\left\{\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right\}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{dis(i,j)}{k}\right)k!)$$
$$\Rightarrow \sum _{j=1}^{n}dis(i,j{)}^m=\sum _{k=0}^m\left\{\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right\}k!\sum _{j=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{dis(i,j)}{k})$$

考虑树形$dp$计算后面的贡献，设$f_{x,j}$表示以$1$为根，在$x$的子树中在$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{di{s}_{1,y}}{j}\right)$的值和。可以根据$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m}\right)$可以$O(nk)$求出

然后根据转移方程换根求其他点为根的答案。

时间复杂度$O(nk)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=5e4+10,K=170,XJQ=10007;
struct node{int to,next;
}a[N*2];
int n,m,tot,S[N][K],fac[K];
int f[N][K],g[N][K],ls[N];
void init(){S[0][0]=S[1][1]=fac[0]=1;for(int i=1;i<=m;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%XJQ;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)(S[i][j]=S[i-1][j-1]+j*S[i-1][j]%XJQ)%=XJQ;return;
}
void addl(int x,int y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return;
}
void dfs(int x,int fa){f[x][0]=1;for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==fa)continue;dfs(y,x);for(int j=1;j<=m;j++)(f[x][j]+=f[y][j]+f[y][j-1])%=XJQ;(f[x][0]+=f[y][0])%=XJQ;}return;
}
int k(int x,int j,int fa)
{return (g[fa][j]-f[x][j]-(j?f[x][j-1]:0)+2*XJQ)%XJQ;}
void dp(int x,int fa){for(int j=1;j<=m;j++)g[x][j]=(k(x,j,fa)+k(x,j-1,fa))%XJQ;g[x][0]=k(x,0,fa)+1;for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==fa)continue;for(int j=1;j<=m;j++)(g[x][j]+=f[y][j]+f[y][j-1])%=XJQ;(g[x][0]+=f[y][0])%=XJQ;}for(int i=ls[x];i;i=a[i].next)if(a[i].to!=fa)dp(a[i].to,x);return;
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);init();for(int i=1;i<n;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}dfs(1,1);for(int i=0;i<=m;i++)g[1][i]=f[1][i];for(int i=ls[1];i;i=a[i].next)dp(a[i].to,1);for(int i=1;i<=n;i++){int ans=0;for(int j=0;j<=m;j++)(ans+=S[m][j]*fac[j]%XJQ*g[i][j]%XJQ)%=XJQ;printf("%d\n",ans);}
}