正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2231

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题目大意

求一个由$[1,m]$的整数组成的长度为$n$的序列使得他们的$gcd$和$m$互质。

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解题思路

考虑容斥减去不合法的答案。那就是要求序列的$gcd$和$m$不互质的个数，那么我们依旧需要容斥计算这个问题，显然一个约数$x$的贡献就是$(\frac{m}{x}{)}^n$，设$f_i$表示第$i$个约数的容斥系数为$-{\sum }_{d_j|d_i}{f}_i$。

这样理论时间复杂度就是约数个数的平方，加上快速幂，也就是接近于$O({\sqrt{m}}^2\log n)$。然而时间复杂度很小。

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,q[1100000],cnt,ans,f[1100000]; 
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x;x=x*x;b>>=1;}return ans;
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=2;i*i<=m;i++){if(m%i==0){q[++cnt]=i;if(i*i!=m)q[++cnt]=m/i;}}q[++cnt]=m; sort(q+1,q+1+cnt);for(ll i=1;i<=cnt;i++){f[i]=1;for(ll j=1;j<i;j++)if(q[i]%q[j]==0)f[i]-=f[j];ans+=power(m/q[i],n)*f[i];}printf("%lld",power(m,n)-ans);
}