正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1139D

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题目大意

不停的在表格中填下$1\sim m$中随机一个数，直到所有数的$gcd=1$为止，求期望数的个数。

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解题思路

设$f_n$表示现在$gcd$为$n$时的期望个数。那么有转移方程$$f_n=\frac{{\sum }_{i=1}^m{f}_{gcd(i,n)}}{m}+1$$
为了方便，我们先把其中$\lfloor \frac{m}{n}\rfloor$个$gcd(i,n)=n$的提出来，我们在后面的计算中均以其为$0$。
如果我们求出一个函数$h(x)={\sum }_{i=1}^m[gcd(i,n)==x]$那么方程就可以转换成方便的形式，因为显然只有$x|n$时$h(x)$才有值。

考虑如何求这个$h$，直接上莫反$$H(x)=\sum _{x|d}h(d)=\lfloor \frac{m}{x}\rfloor \ast [x|n]$$
$$ans=\sum _{x|n}h(x)f_x=\sum _{x|n}{f}_x\sum _{x|y}H(y)\mu (\frac{y}{x})=\sum _{x|n}{f}_x\sum _{x|y,y|n}\lfloor \frac{m}{x}\rfloor \mu (\frac{y}{x})$$
这个很麻烦计算，把$y$提出来
$$\Rightarrow \sum _{y|n}\lfloor \frac{m}{x}\rfloor \sum _{x|y}\mu (\frac{y}{x})f_x$$
后面那个做完一个$f$就预处理一个，然后跟着转移即可。

时间复杂度$O(m\sqrt{m})$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10,P=1e9+7;
ll m,cnt,pri[N],mu[N],f[N],g[N];
bool v[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void prime(){mu[1]=1;for(ll i=2;i<=m;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=m;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0)break;mu[i*pri[j]]=mu[i]*mu[pri[j]];}}return;}
signed main()
{scanf("%lld",&m);prime();ll ans=f[1]=g[1]=1;for(ll n=2;n<=m;n++){for(ll i=1;i*i<=n;i++)if(n%i==0){if(i*i!=n)(g[n]+=mu[i]*f[n/i]%P)%=P;(g[n]+=mu[n/i]*f[i]%P)%=P;}for(ll i=1;i*i<=n;i++)if(n%i==0){if(i*i!=n)(f[n]+=(m/(n/i))*g[n/i]%P)%=P;(f[n]+=(m/i)*g[i]%P)%=P;}f[n]=(f[n]+m)%P*power(m-m/n,P-2)%P;ans=(ans+f[n])%P;(g[n]+=f[n])%=P;}ans=ans*power(m,P-2)%P;printf("%lld\n",(ans+P)%P);return 0;
}