[XSY] 简单的数论题（数学、构造）

简单的数论题

$m(a^3+b^3)=n(c^3+d^3)$
$考虑因式分解(a^3+b^3),(c^3+d^3):$
$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=(a+b)(a^2+b^2-ab)$
$c^3+d^3=(c+d)^3-3cd(c+d)=(c+d)(c^2+d^2-cd)$
$∴m(a+b)(a2+b2−ab)=n(c+d)(c2+d2−cd)\therefore m(a+b)(a^2+b^2-ab)=n(c+d)(c^2+d^2-cd)$
$等式两边带着系数m,n很不方便，(a^2+b^2-ab),(c^2+d^2-cd)结构较复杂，$
$考虑用 (a + b), (c + d) 把 m, n 消掉：$
$令 a + b = k n, c + d = k m$
$∴a2+b2−ab=c2+d2−cd①\therefore a^2+b^2-ab=c^2+d^2-cd①$
$尽量让左式出现 (a + b) ，右式出现 (c + d) :$
$a+b)^2-3ab=(c+d)^2-3cd$
$k^2n^2-3ab=k^2m^2-3cd$
$k^2(n^2-m^2)=3(ab-cd)$
$考虑令k=3,构造3(n^2-m^2)=ab-cd②:$
$尝试1：令ab=3n^2,cd=3m^2，与a+b=3n,c+d=3m联立求解a,b,c,d$
$结果：方程无解$
$尝试 2 ：因为已知 (a + b), (c + d), 考虑求出 (a - b), (c - d) :$
$回到 ① 式，让左式出现 (a - b) ，右式出现 (c - d) ：$
$a-b)^2+ab=(c-d)^2+cd$
$让此式向 ② 式靠近：$
$c-d)^2-(a-b)^2=ab-cd③$
$② ③ 联立得：$
$c-d)^2-(a-b)^2=3(n^2-m^2)$
$令 u = c - d, v = a - b$
$u^2-v^2=3(n^2-m^2)$
$(u + v) (u - v) = 3 (n + m) (n - m)$
$把 3 放进其中一个括号中：$
$(u + v) (u - v) = (n + m) (3 n - 3 m)$
$令 u + v = n + m, u - v = 3 n - 3 m$
$解得 u = 2 n - m, v = 2 m - n$
$由 a + b = 3 n, a - b = 2 m - n 得 a = n + m, b = 2 n - m$
$由 c + d = 3 m, c - d = 2 n - m 得 c = n + m, d = 2 m - n$

如此，我们便构造出了一组整数解

考虑何时有正整数解：
$2 n - m > 0, 2 m - n > 0$
$∴nm∈(12,2)时所得为正整数解\therefore \frac{n}{m}\in(\frac{1}{2},2)时所得为正整数解$

若 $nm∉(12,2)\frac{n}{m}\not\in (\frac{1}{2},2)$ ，寻找 $p3nq3m∈(12,2)\frac{p^3n}{q^3m}\in(\frac{1}{2},2)$ （令 $a, b$ 变为原来的 $q$ 倍， $c, d$ 变为原来的 $p$ 倍）

为了方便，我们设 $n < m$ (否则的话swap(n,m)即可)
那么此时必然有 $0<nm<10<\frac{n}{m}<1$
$若nm<14,nm←23nm若\frac{n}{m}<\frac{1}{4},\frac{n}{m}\leftarrow\frac{2^3n}{m}$ (保证变化后 $nm<2\frac{n}{m}<2$ )
$若14<=nm<=12,nm←23n33m若\frac{1}{4}<=\frac{n}{m}<=\frac{1}{2},\frac{n}{m}\leftarrow\frac{2^3n}{3^3m}$ (保证变化后 $12<nm<2\frac{1}{2}<\frac{n}{m}<2$ )
$若nm>12,保证有正整数解若\frac{n}{m}>\frac{1}{2},保证有正整数解$

总结：既然题目只要求一组解，那么就要大胆地作假设来方便自己的运算，大胆地凑答案

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll read(){ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;
}
int T,rev;
ll n,m,a,b,c,d,p,q;
void solve(){rev=0;p=q=1ll;if(n>m){swap(n,m);rev=1;}while(4ll*n<m){p*=2ll;n*=8ll;}if(2ll*n<=m){p*=3ll;n*=27ll;q*=2ll;m*=8ll;}a=q*(n+m);b=q*(2ll*n-m);c=p*(n+m);d=p*(2ll*m-n);if(rev) printf("%lld %lld %lld %lld\n",c,d,a,b);else printf("%lld %lld %lld %lld\n",a,b,c,d);
}
int main(){scanf("%d",&T);while(T--){n=read();m=read();solve();}return 0;
}