1 矩阵及其运算

由$m\times n$个数$a_{ij}$排成的$m$行$n$列的数表称为$m$行$n$列的矩阵，简称$m\times n$矩阵。记作：
$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}\end{array}\right]$
这$m\times n$个数称为矩阵A的元素，简称为元。数$a_{ij}$位于矩阵A的第$i$行第$j$列，称为矩阵A的$(i,j)$元，以数$a_{ij}$为$(i,j)$元的矩阵可记为$(a_{ij})$或$(a_{ij}{)}_{m\times n}$，$m\times n$矩阵A也记作$A_{mn}$。

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于$n$的矩阵称为 $n$阶矩阵或$n$阶方阵。$n$阶方阵中所有$i=j$的元素$a_{ij}$组成的斜线称为 （主）对角线，所有$i+j=n+1$的元素$a_{ij}$组成的斜线称为辅对角线。

1.1矩阵的基本运算

加法与减法

对于两个同型（行列数一样） 的矩阵A和B，加减法就是把对应$(i,j)$元做加减法运算。
例：
$\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 2& 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 5\\ 7& 5& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+0& 4+0& 2+5\\ 2+7& 0+5& 0+0\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 2& 0& 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 5\\ 7& 5& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1-0& 4-0& 2-5\\ 2-7& 0-5& 0-0\end{array}\right]$

矩阵的加法运算满足结合律和交换律：
$A+B=B+A$
$(A+B)+C=A+(B+C)$

数乘

矩阵的数乘是指一个数乘以一个矩阵，只要把这个数乘到每一个$(i,j)$元上。
例：
$2\times \left[\begin{array}{ccc}1& 8& -3\\ 4& -2& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2\times 1& 2\times 8& 2\times (-3)\\ 2\times 4& 2\times (-2)& 2\times 5\end{array}\right]$

矩阵的数乘满足结合律和分配律：
$(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A)$
$(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$
$\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

矩阵的加法、减法、数乘运算合称为矩阵的"线性"运算。

转置

把矩阵A的行换成同序数的列所得到的新矩阵称为A的转置矩阵，这一过程称为矩阵的转置。
例：
${\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 3\\ 0& -2& 8\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 4& -2\\ 3& 8\end{array}\right]$

矩阵的转置满足：
$(A^T{)}^T=A$
$(\lambda A{)}^T=\lambda A^T$
$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

共轭

对于复矩阵，其共轭矩阵定义为：$(A{)}_{i,j}=\overline{A_{i,j}}$。
例：
$A=\left[\begin{array}{cc}3+i& 5\\ 2-2i& i\end{array}\right]$

$\overline{A}=\left[\begin{array}{cc}3-i& 5\\ 2+2i& -i\end{array}\right]$

共轭转置

矩阵的共轭转置定义为：$(A^{\ast }{)}_{i,j}=\overline{A_{j,i}}$，也可以写成$A^{\ast }=(\overline{A}{)}^T=\overline{A^T}$。
例：
$A=\left[\begin{array}{cc}3+i& 5\\ 2-2i& i\end{array}\right]$

$A^{\ast }=\left[\begin{array}{cc}3-i& 2+2i\\ 5& -i\end{array}\right]$

1.2矩阵的乘法运算

两个矩阵的乘法运算仅当第一个矩阵A的列数和第二个矩阵B的行数相等时才能定义。
如A是$m\times n$矩阵、B是$n\times p$矩阵，它们的乘积C是一个$m\times p$矩阵$C=(c_{ij})$,它的任意一个元素值为：
$c_{i,j}=a_{i,1}{b}_{1,j}+a_{i,2}{b}_{2,j}+...+a_{i,n}{b}_{n,j}={\sum }_{r=1}^n{a}_{i,r}{b}_{r,j}$
并将此乘积记为$C=AB$

矩阵的乘法运算满足结合律、左分配律、右分配律，但是不满足交换律：
$(AB)C=A(BC)$
$(A+B)C=AC+BC$
$C(A+B)=CA+CB$
$AB\ne BA$

1.3矩阵的行列式

一个 $n\times n$的方阵A的行列式记为$det(A)$或者$|A|$，$det(A)={\sum }_P(-1{)}^{\mu (P)}{\prod }_{i=1}^n{a}_{i,P_i}$。
(枚举排列$P[1...n]$ ,其中$\mu (P)$为排列$P$的逆序对数)

例：一个$2\times 2$矩阵的行列式可表示如下：
$det\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$

计算：
把一个$n$阶行列式中的元素$a_{ij}$所在的第$i$行第$j$列划去后，留下来的$n-1$阶行列式叫做元素$a_{ij}$的余子式，记做$M_{ij}$。记$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$，叫做元素$a_{ij}$的代数余子式。
例：
$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right|$
$M_{23}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{14}\\ a_{31}& a_{32}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{44}\end{array}\right|$
$A_{23}=(-1{)}^{2+3}{M}_{23}=-M_{23}$

一个$n\times n$矩阵的行列式等于其任意行（或列）的元素与对应的代数余子式乘积之和，即：
$det(A)=a_{i1}{A}_{i1}+...a_{in}{A}_{in}={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}(-1{)}^{i+j}det(A_{ij})$

1.4矩阵的特殊类别

对角矩阵

定义：主对角线之外的元素皆为0的矩阵

三角矩阵

定义：分为上三角矩阵和下三角矩阵。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为0，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为0。
$U=\left[\begin{array}{ccccc}{u}_{1,1}& u_{1,2}& u_{1,3}& ...& u_{1,n}\\ 0& u_{2,2}& u_{2,3}& ...& u_{2,n}\\ 0& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& ⋮& 0& \ddots & u_{n-1,n}\\ 0& 0& ...& 0& u_{n,n}\end{array}\right]$(如图U为上三角矩阵)

性质与应用：

1. 解多元线性方程组（高斯消元）
2. 三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积

对称矩阵

定义：对称矩阵是一个方阵，其转置矩阵和自身相等，即$A=A^T$。
性质与应用：对称矩阵中关于主对角线对称的每一对元素均相等
反对称矩阵：满足$A=-A^T$的方阵A

埃尔米特矩阵

定义：$n$阶复方阵A的对称单元互为共轭，即A的共轭转置矩阵等于它本身，则A是埃尔米特矩阵。
例：$A=\left(\begin{array}{cc}3& 2+i\\ 2-i& 1\end{array}\right)$

性质与应用：

1. 埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数，其特征值也是实数
2. 如果埃尔米特矩阵的特征值都是正数，那么这个矩阵是正定矩阵，若它们是非负的，则这个矩阵是半正定矩阵

注意：对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是埃尔米特矩阵（实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例）

正交矩阵

定义：A是一个 $n$阶实矩阵，若$A^{T}A=E$(或$A{A}^T=E$)，则称A为正交矩阵。

性质与应用：

1. 如果A是一个正交矩阵，则$|A|=+1或-1$
2. A可逆，且其逆$A^{-1}$也是正交矩阵
3. $A^T和A^{\ast }$也是正交矩阵
4. $A^m(m为自然数)$也是正交矩阵

范德蒙矩阵

定义：一个各列呈现出几何级数关系的矩阵
例：
$V=\left[\begin{array}{ccccc}1& a_1& a_1^2& ...& a_1^{n-1}\\ 1& a_2& a_2^2& ...& a_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& a_m& a_m^2& ...& a_m^{n-1}\end{array}\right]$
或以第$i$行第$j$列的关系写作：$V_{i,j}=a_i^{j-1}$

性质与应用：纠错编码

2 数字方阵

3 线性方程组及其解法

本文摘自《信息学奥赛之数学一本通》