用途

设$f(x)$是一个积性函数，min_25筛可以在$O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log n})$内求$f(x)$的前缀和：${\sum }_{i=1}^{N}f(i)$

使用要求：$f(p),f(p^k)$的值可以快速求出$(p\in Prime)$

算法

Step 1：求${\sum }_{i=1}^n[i\in Prime]f(i)$

约定$P$表示质数集合，$P_i$表示第$i$个质数

首先我们要根据$f(x)$在质数处的点值的表达式构造出$F(x)$（有时需要把$f(x)$拆成多个$F(x)$），满足 $F(x)$是一个完全积性函数，并且$F(x)$的和可以迅速转换成$f(x)$的和

然后设$g(n,j)={\sum }_{i=1}^{n}F(i)[i\in Pori的最小质因数>P_j]$

${\sum }_{i=1}^n[i\in P]F(i)$即为$g(n,|P|)$（$|P|$是$P$集合的大小）

考虑$g$的转移：

1. 若$P_j^2>n$：
   显然不会产生新的贡献了，此时有$g(n,j)=g(n,j-1)$

2. 若$P_j^2\le n$：
   $g(n,j)=g(n,j-1)-\sum [i的最小质因数=P_j]F(i)$
   $=g(n,j-1)-F(P_j)\sum [i的最小质因数=P_j]F(\frac{i}{P_j})$
   $=g(n,j-1)-F(P_j){\sum }_{k=P_j}^{\lfloor \frac{n}{P_j}\rfloor }[k的最小质因数>P_{j-1}]F(k)$
   $=g(n,j-1)-F(P_j)[g(\lfloor \frac{n}{P_j}\rfloor ,j-1)-g(P_j-1,j-1)]$

关于$g$的初值：

考虑一下$g$的实际含义是什么呢？可以参考一下埃氏筛法的运行过程。

假设现在有$n$个数依次排开，第$i$个数是$f(i)$，根据埃氏筛法的那套理论，每次选出一个质数$p$，然后筛掉所有$f(k\times p)$$(k>=2)$

会发现$g(n,j)$就是运行$j$次埃氏筛法后，没被筛掉的所有数之和。

这里递推的起点是$g(n,0)$，$g(n,0)$的含义是把所有的数字当作质数，然后求${\sum }_{i=1}^{n}F(i)$

最后，我们把$F(x)$转回$f(x)$，
用$g(n,j)$表示${\sum }_{i=1}^{n}f(i)[i\in Pori的最小质因数>P_j]$，
${\sum }_{i=1}^n[i\in P]f(i)$即为$g(n,|P|)$

编码细节：

1. 转移$g$只需用到$\sqrt{N}$以内的质数，先线性筛预处理出这些质数
2. $g$只需要开第一维
3. 题目中的$N$往往很大，$n$直接枚举的话会炸掉。所以要预处理一个集合S={⌊Nx⌋∣x∈[1,N]}S=\{\lfloor\frac{N}{x}\rfloor|x\in[1,N]\}S={⌊xN​⌋∣x∈[1,N]}，集合$S$的大小$|S|=2\sqrt{N}$。递推式中，$\lfloor \frac{n}{P_j}\rfloor$一定$\in S$，因为$P_j\le \sqrt{N}$，，而所有$\le \sqrt{N}$的数都可以通过$\lfloor \frac{N}{x}\rfloor$得到，所以$P_j-1\in S$。在具体实现时，先把$S$离散化一下，调用$g$的第一维时，直接枚举离散化后$S$中各元素的编号。

Step 2：求最终答案

设$S(n,j)={\sum }_{i=1}^{n}f(i)[i的最小质因数>=P_j]$

最终答案即为$S(n,1)+f(1)$

考虑$S$的转移：

1. 算1~n中质数的贡献：
   $S(n,j)+=g(n,j)-{\sum }_{i=1}^{j-1}f(P_i)$
   （${\sum }_{i=1}^{j-1}f(P_i)=g(P_{j-1},j-1)$）

2. 算1~n中合数的贡献：
   $S(n,j)+={\sum }_{k=j}^{P_k^2\le n}{\sum }_{e=1}^{P_k^{e+1}\le n}S(\frac{n}{P_k^e},k+1)\times f(P_k^e)+f(P_k^{e+1})$
   （枚举合数的最小质因数及其最小质因数的指数）

边界条件：
$if(n<=1||P_j>n)return0;$

编码细节：

1. 同上，$g$的第一维用离散化后$S$中各元素的编号表示

参考博客：
https://www.cnblogs.com/yoyoball/p/9185144.html
https://blog.csdn.net/baiyifeifei/article/details/90454317
https://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/9187319.html
https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9185093.html