$f(x)$表示$x$的次大约数，有$f(x)=\frac{x}{x的最小质因数}$，那么

$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}sgcd(i,j{)}^k& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}f(gcd(i,j){)}^k\\ & =\sum _{d=1}^{n}f(d{)}^k\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[gcd(i,j)=d]\\ & =\sum _{d=1}^{n}f(d{)}^k\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }[gcd(i,j)=1]\\ & =\sum _{d=1}^{n}f(d{)}^k\cdot (2\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\phi (i)-1)\end{array}$
（倒数第二步到最后一步是直接由$\varphi$的定义得到的）

$2\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\phi (i)-1$是经典的杜教筛求欧拉函数前缀和，
然后因为$i$的上界是$\lfloor \frac{n}{d}\rfloor$所以求出前缀和以后分块搞一波就好了

$\sum _{d=1}^{n}f(d{)}^k$的求法则非常神仙（%%%网上的大佬）：

$\sum _{d=1}^{n}f(d{)}^k$
$=\sum _{d=2}^{n}f(d{)}^k[d是质数]+\sum _{d=2}^{n}f(d{)}^k[d是合数]+f(1{)}^k$
$=\sum _{d=2}^n[d是质数]+\sum _{d=2}^n(\frac{d}{d的最小质因数}{)}^k[d是合数]$

$\sum _{d=2}^n[d是质数]$即为$n$以内质数个数，可以用min_25筛出来，接下来只需考虑$d$是合数的部分

回忆min_25筛，
设$g(n,j)={\sum }_{i=1}^n{i}^k[i\in Pori的最小质因数>P_j]$，则
当$P_j^2\le n$时，
$g(n,j)=g(n,j-1)-\sum [i的最小质因数=P_j]i^k$
$=g(n,j-1)-P_j^k\sum [i的最小质因数=P_j](\frac{i}{P_j}{)}^k$
$=g(n,j-1)-P_j^k{\sum }_{l=P_j}^{\lfloor \frac{n}{P_j}\rfloor }[l的最小质因数>P_{j-1}]l^k$
$=g(n,j-1)-P_j^k[g(\lfloor \frac{n}{P_j}\rfloor ,j-1)-g(P_j-1,j-1)]$

我们发现$g(\lfloor \frac{n}{P_j}\rfloor ,j-1)-g(P_j-1,j-1)$
即为${\sum }_{i=1}^n[i的最小质因数=P_j](\frac{i}{P_j}{)}^k$
所以${\sum }_{j=1}^{|P|}g(\lfloor \frac{n}{P_j}\rfloor ,j-1)-g(P_j-1,j-1)$
$={\sum }_{j=1}^{|P|}{\sum }_{i=1}^n[i的最小质因数=P_j](\frac{i}{P_j}{)}^k$
$={\sum }_{i=2}^n(\frac{i}{i的最小质因数}{)}^k$

最后，算$g(n,0)$要快速求${\sum }_{i=1}^n{i}^k$，这里要用第二类斯特林数处理一下：
${\sum }_{i=1}^n{i}^k$
=∑i=1n∑j=1k{jk}ij‾=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}\{_j^k\}i^{\underline{j}}=∑i=1n​∑j=1k​{jk​}ij​
=∑j=1k{jk}∑i=1nij‾=\sum_{j=1}^{k}\{_j^k\}\sum_{i=1}^{n}i^{\underline j}=∑j=1k​{jk​}∑i=1n​ij​
=∑j=1k{jk}(n+1)j+1‾j+1=\sum_{j=1}^{k}\{_j^k\}\frac{(n+1)^{\underline{j+1}}}{j+1}=∑j=1k​{jk​}j+1(n+1)j+1​​

实现细节：
1、取模的话可以自然溢出，$unsignedint$了解一下ovo

2、求下降阶乘幂的时候，因为这题的模数不是质数，所以不能快乐求逆元，但是因为$k$比较小所以直接暴力一波，一个一个数乘，这堆数中必定有一个是$j+1$的倍数，所以可以直接先除再乘就好了，注意判断的时候每次都取模判断的话会愉快T掉，所以应该在一开始的时候先把余数算出来，然后根据余数的加法定理直接判就好了

参考博客：https://www.cnblogs.com/yoyoball/p/9204846.html