【期望】【高斯消元】图上游走（金牌导航期望-6）

图上游走

金牌导航期望-6

题目大意

给出一个无向连通图，小明初始在点1，每一步等概率地走向相连的其他点，当走到n时结束，定义分数从1为走到n的过程中经过的边的编号之和，现在让你给这m条边重新编号，使最大期望分数最小

输入样例

输出样例

3.333

解题思路

一条边的贡献=期望经过次数 $×\times$ 编号
为了使期望分数最小，让期望经过次数大的编号小即可
那么如何求边的期望经过次数呢
对于连接x,y的边，有：
$sli=sxdegx+sydegysl_i=\frac{s_x}{deg_x}+\frac{s_y}{deg_y}$
其中sl，s分别为边，点的期望次数，deg为连接的边数
意思就是：从x的点有 $1degx\frac{1}{deg_x}$ 的概率走过这条边，再乘上 $s_x$ 即为从x点走过该边的概率（y同理）
求sl的方法已经有了，那么考虑求s
对于s，我们有式子：
$si=s1deg1+s2deg2...sdegidegdegis_i=\frac{s_1}{deg_1}+\frac{s_2}{deg_2}...\frac{s_{deg_i}}{deg_{deg_i}}$
里面的数表示和i相连的数
移项得到
$0=−si+s1deg1+s2deg2...sdegidegdegi0=-s_i+\frac{s_1}{deg_1}+\frac{s_2}{deg_2}...\frac{s_{deg_i}}{deg_{deg_i}}$
这样我们就得到n-1个式子（到n后不会再往回走，所以关于n的式子不要）
注：对于1的式子，有初始的一次，移项后得到的是：
$−1=−si+s1deg1+s2deg2...sdegidegdegi-1=-s_i+\frac{s_1}{deg_1}+\frac{s_2}{deg_2}...\frac{s_{deg_i}}{deg_{deg_i}}$
对于这n-1个式子，我们高斯消元得到s，然后求结果即可

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define N 510
using namespace std;
int n, m, x, y, tot, maxn, head[N];
double ans, l[2*N*N], deg[N], f[N][N];
struct rec
{int to, next;
}a[2*N*N];
double abss(double x)
{if (x < 0) return -x;return x;
}
void add(int x, int y)
{a[++tot].to = y;a[tot].next = head[x];head[x] = tot;a[++tot].to = x;a[tot].next = head[y];head[y] = tot;deg[x] += 1.0;deg[y] += 1.0;
}
void gaus(int n)//高斯消元
{for (int i = 1; i <= n; ++i){maxn = i;for (int j = i + 1; j <= n; ++j)if (abss(f[j][i]) > abss(f[maxn][i]))maxn = j;for (int j = 1; j <= n + 1; ++j)swap(f[i][j], f[maxn][j]);for (int j = 1; j <= n; ++j)if (i != j)for (int k = i + 1; k <= n + 1; ++k)f[j][k] -= f[i][k] * (f[j][i] / f[i][i]);}for (int i = 1; i <= n; ++i)f[i][n + 1] /= f[i][i];return;
}
int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= m; ++i){scanf("%d%d", &x, &y);add(x, y);}for (int i = 1; i < n; ++i){f[i][i] = -1.0;for (int j = head[i]; j; j = a[j].next)if (a[j].to != n)//到n后不走了f[i][a[j].to] = 1.0 / deg[a[j].to];//得出方程}f[1][n] = -1.0;gaus(n - 1);for (int i = 1; i <= m; ++i)l[i] = f[a[i*2].to][n] / deg[a[i*2].to] + f[a[i*2-1].to][n] / deg[a[i*2-1].to];//求出期望sort(l + 1, l + 1 + m);reverse(l + 1, l + 1 + m);//从大到小for (int i = 1; i <= m; ++i)ans += l[i] * i;printf("%.3lf", ans);return 0;
}